Меню

Таблица простых чисел синим цветом



Эти непростые простые числа.

Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители — такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?

Ч. Узерелл «Этюды для программистов».

Скачать:

Вложение Размер
eti_neprostye_prostye_chisla.zip 134.79 КБ

Предварительный просмотр:

Автор: ученик 6 класса МОУ

общеобразовательная школа №2»

Руководитель: учитель математики

Сухачёва Татьяна Ивановна

Эти «непростые» простые числа.

Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители — такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?

Ч. Узерелл «Этюды для программистов».

«Ни одному другому разделу теории чисел не свойственно столько загадочности и изящества, как разделу, занимающемуся изучением простых чисел — непокорных упрямцев, упорно не желающих делиться ни на какие числа, кроме единицы и самих себя. Некоторые задачи, относящиеся к теории распределения простых чисел, формулируются настолько просто, что понять их может и ребёнок. Тем не менее они настолько глубоки и далеки от своего решения, что многие математики считают их вообще не разрешимыми. Может быть, в теории чисел так же как и в квантовой механике, действует своё собственное соотношение неопределённости и в некоторых её разделах имеет смысл говорить лишь о вероятности того или иного результата?»

Мартин Гарднер «Математические досуги»

  1. Введение.
  2. Поиск простых чисел.
  3. Распределение простых чисел.
  4. Числа-близнецы.
  5. Узоры простых чисел.
  6. Самое большое простое число.
  7. Таблица «Менделеева» простых чисел.
  8. Литература.

В 6 классе на уроках математики мы познакомились с темой «Простые числа». Я узнал, что числа бывают простые и составные. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.

Учитель объяснил нам принцип нахождения простых чисел. Представил нашему вниманию таблицу простых чисел до 997, помещенную на форзаце учебника «Математика 6 класс», которой мы затем пользовались в ходе выполнения упражнений и заданий.

Таблица простых чисел до 997.

Из дополнительного материала я узнал, что метод нахождения простых чисел путем вычеркивания называется «Решетом Эратосфена».

Но чем больше я узнавал, тем больше возникало вопросов.

  1. Как часто встречаются простые числа в ряду натуральных чисел?
  2. Существует ли последнее (самое большое) простое число?
  3. Почему в таблице числа записаны разными цветами?

Почитав рекомендуемую учителем дополнительную литературу по этому вопросу, я понял, что не такие уж они и простые эти простые числа.

Наверное, немногие математические понятия настолько доступны далёкому от математики человеку, как понятие простые числа. Любому встретившемуся на улице можно за короткое время объяснить, что такое простые числа. Поняв, человек без труда напишет: 2,3,5,7,11,13,17 и т.д. Единица обычно не считается простым числом.

Возможно ли распознать простые числа, как говориться, с первого взгляда? Если вы зачерпнули в сито сразу много чисел, сверкнёт ли среди них простое, как золотой самородок? Некоторые считают, что да. Например, числа оканчивающиеся на 1 часто оказываются искомыми, такие как 11,31,41. однако при этом следует быть осторожными и не принять фальшивое золото за чистое, как скажем, 21 или 81 оканчиваются на 1, но не являются простыми. По мере роста величины чисел, единица на конце всё чаще вводит в заблуждение. Создаётся даже впечатление будто простые числа в конце концов просто исчезают, как полагали некоторые древние греки.

Для отыскания простых чисел греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычеркнул единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные двум, т.е. 4,6,8 и т.д.).

Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после трех (числа, кратные 3, т.е. 6, 9, 12, и т.д.) в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивались, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминало решето. Поэтому метод Эратосфена называют «Решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

Возможно, из всех занимательных задач в теории чисел самая занимательная — это поиск простых чисел. Подобно золотым самородкам, они скрываются в «породе» остальных чисел.

Существуют различные способы поиска простых чисел. Можно даже построить специальное просеивающее устройство, подобное промывным желобам, которые старатели применяют при поиске самородков, но так или иначе их приходится искать, потому что никто не знает, где они встретятся. Есть, правда, кое-какие геологические приметы, по которым можно искать их залежи. Так же как когда-то тысячи золотоискателей бросились в Калифорнию и на Юкон промывать песок в горных речушках в поисках крупинок жёлтого металла, так и наши читатели могут отправиться в страну чисел, но налегке, вооружившись лишь этим маленьким руководством.

  1. Распределение простых чисел.

Как часто встречаются простые числа среди натуральных? Насколько быстро они разрежаются по течению реки Континуума?

Из первых 10 чисел 4 являются простыми, таким образом их доля составляет 40%. В первой сотне их содержание падает до 25%, в 1000 – до 17% и оно продолжает падать с ростом величины чисел.

Существует правило, которое позволяет вывести формулу для нахождения количества простых чисел на различных интервалах.

Неудивительно, что это явление постепенного разрежения дает все более длительные интервалы, вовсе не содержащие простых чисел. Например, чтобы найти отрезок длиной в миллион, не содержащий ни одного простого числа, нужно лишь проплыть вниз по течению, как это однажды сделал Мартин Гарднер, до числа 1000001! Однако нетрудно убедиться, что с этого числа начинается интервал, не содержащий ни одного простого числа.

Среди простых чисел встречаются так называемые «близнецы» или пары простых чисел, разница между которыми составляет двойку (например, 11 и 13). Именно эти пары чисел в таблице учебника выделены другим цветом.

«Близнецы» появляются с некой периодичностью, причем, чем больше числа, тем реже они встречаются (11 и 13; 17 и 19; 29 и 31; 41 и 43; 59 и 61). То же происходит и с обычными простыми числами. В числах, близких к триллиону, лишь каждое 28 число является простым.

Еще Евклидом было доказано, что простых чисел бесконечно много. Однако окончательного ответа на вопрос, конечно или бесконечно множество «близнецов», пока не существует

Двое ученых утверждали, что нашли ключ к доказательству одной из самых знаменитых математических гипотез. Согласно ей, существует бесконечно много пар простых чисел, разность между которыми равна двум — так называемых чисел-близнецов. Это утверждение является одним из следствий фундаментальной гипотезы Римана, имеющей непосредственное отношение к современной криптографии.

Простые числа-близнецы это пара простых чисел , отличающихся на 2.

Все пары простых чисел-близнецов, кроме (3, 5) имеют вид .

Действительно. Рассмотрим, например: 59 и 61. 59=6*10-1; 61=6*10+1.

Первые простые числа-близнецы:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61),

(71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Иногда своего рода формула возникает как результат наблюдения визуальных закономерностей. Одну из таких закономерностей случайно открыл Станислав Улам, американский математик, поляк по происхождению. Сидя как-то на скучной лекции, он, ни о чем не думая, начал рисовать решетку из горизонтальных и вертикальных линий. В одной из полученных таким образом клеток он поставил 1 и стал нумеровать остальные клетки по спирали, расходящейся от первой клетки:

Когда спираль совершила уже несколько оборотов, Улам начал обводить кружками простые числа, не преследуя никакой определенной цели. Однако вскоре заметил, как на его глазах возникает довольно любопытная закономерность. Откуда ни возьмись, стали появляться прямые линии. Улам, конечно, сразу понял, что такие линии говорят о закономерности, которую можно облечь в формулу для простых чисел. Компьютерная распечатка, дублирует то, что Улам сделал от руки. На компьютерном графике составные числа представлены маленькими белыми квадратиками, а простые — черными.

Выделяющиеся тёмные линии – это залежи простых чисел. Вблизи центра выстраивания простых чисел вдоль прямых ещё можно было ожидать, поскольку плотность простых чисел вначале велика и все они, кроме числа 2, нечётны. Если клетки шахматной доски перенумеровать по спирали, то все нечётные числа попадут на клетки одного и того же цвета. Взяв 17 пешек (соответствующих 17 простым числам, не превосходящим числа 64) и расставив их наугад на клетки одного цвета, вы обнаружите, что пешки выстроились вдоль диагональных прямых. Однако не было оснований ожидать, что и в области больших чисел, где плотность простых чисел значительно меньше, те так же будут выстраиваться вдоль прямых. Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. Разработав программу, Улам получил рисунок для чисел от 1 до 65 000 (иногда его называют «скатертью Улама»), из которого видно, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые. В книге, процитированной в эпиграфе, приводиться рисунок, на котором числа подряд выписаны в форме прямоугольного треугольника и простые числа отмечены кружками. И, что самое интересное, эти кружки тоже расположены по прямым линиям.

Источник

интернет проект BeginnerSchool.ru

Сайт для детей и их родителей

Загадочные простые числа

Еще со времен древних греков простые числа были очень привлекательны для математиков. Они постоянно ищут разные способы их нахождения, но самым эффективным способом «поимки» простых чисел, считается способ, найденный александрийским астрономом и математиком Эратосфеном. Этому способу уже около 2000 лет.

Какие числа являются простыми

Как же определить простое число? Многие числа делятся без остатка на другие числа. Число, на которое делится целое число, мы называем делителем.

В данном случае мы говорим о делении без остатка. Например, число 36 можно разделить на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и на само себя, то есть на 36. Значит, 36 имеет 9 делителей. Число 23 делится только на себя и на 1, то есть это число имеет 2 делителя – это число является простым.

Числа, которые имеют только два делителя, называются простыми числами. То есть, число, которое делится без остатка только на себя и на единицу, называется простым.

Для математиков открытие закономерностей в ряду чисел, которые потом можно использовать для построения гипотез, является очень приятным событием. Но простые числа отказываются подчиняться хоть какой-нибудь закономерности. Но есть способ определения простых чисел. Этот способ найден Эратосфеном, он называется «решетом Эратосфена». Давайте рассмотрим вариант такого «решета», представленный в виде таблицы чисел до 48 и поймем, как она составлена.

В этой таблице все простые числа меньше 48 отмечены оранжевым цветом . Найдены они так:

  • 1 – имеет единственный делитель и поэтому не является простым числом;
  • 2 – наименьшее простое число и единственное четное, так как все остальные четные числа делятся на 2, то есть имеют не меньше 3 делителей, эти числа сведены в фиолетовую колонку ;
  • 3 – простое число, имеет два делителя, все остальные числа, которые делятся на 3, исключаются – эти числа сведены в желтую колонку . Колонка, отмеченная и фиолетовым , и желтым , содержит числа делящиеся и на 2 и на 3;
  • 5 – простое число, все числа, которые делятся на 5, исключаются – эти числа обведены зеленым овалом ;
  • 7 – простое число, все числа, которые делятся на 7, обведены красным овалом – они не являются простыми;

Все числа не являющиеся простыми отмечены синим цветом . Далее эту таблицу можно составить самому по образу и подобию.

Самое большое число, которое рассчитано математиками, записывается 25962 знаками.

Если вы хотите получать анонсы наших статей, подпишитесь на рассылку “Новости сайта”.

  1. Натуральные числаМы каждый день отвечаем на вопрос «сколько?». При этом помимо.
  2. Многозначные числаВ прошлый раз мы говорили о цифрах и о разрядах.
  3. Основные содержательные линии в математике – вычислительные навыкиПродолжаем тему «основные содержательные линии курса математики начальной школы». В.
  4. Деление. Основные правилаОдним из простых арифметических действий является деление. Мы знаем, что.
  5. Таблица умноженияМы все знаем, что учить таблицу умножения необходимо. А необходимо.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Источник

Что такое Простые числа

Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Единица не является ни простым числом, ни составным.

Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).

Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).

Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).

Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4. (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).

Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.

Простые числа до 1000

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

  1. Записать все числа от 1 до n (например, записываются все числа от 1 до 100, если нужны все простые числа между ними);
  2. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 2 (кроме 2);
  3. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 3 (кроме 3);
  4. И так далее по порядку со всеми невычеркнутыми числами до числа n (после 3 это 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.).

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

  • 14 (это 2 х 7) и 15 (это 3 х 5), единственный общий делитель — 1; если числа следуют одно за другим (как 13 и 12 либо 10 и 11), то они всегда будут взаимно простыми;
  • 7 (это 7 х 1) и 11 (это 11 х 1) — это два простых числа, а значит единственный общий делитель всегда будет только единица, простые числа всегда являются взаимно простыми;
  • или 30 и 48 не являются взаимно простыми, т. к. 6 х 5 = 30 и 6 х 8 = 48 и 6 — это наибольший общий делитель, т. е.: НОД (30; 48) = 6.

Число Мерсенна

Простое число Мерсенна — это простое число вида:

До 1536 г. многие считали, что числа такого вида были все простыми, пока математик Ульрих Ригер не доказал, что 2 (^11) – 1 = 2047 было составным (23 x 89). Затем появились и другие составные числа (p = 23, 29, 31, 37 и др.).

Например, для p = 23 это 2 (^23) – 1 = 8 388 607; И 47 x 178481 = 8 388 607, значит оно составное.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе «Теория чисел» (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Почему 4 не является простым числом?

Простое число — это натуральное число, больше единицы, которое делится без остатка на 1 и на само себя. Т. к. 4 можно разделить на 1, на 2 и на 4, из-за деления на 2 оно не является простым.

Самое большое простое число

21 декабря 2018 года Great Internet Mersenne Prime Search (проект, целью которого является открытие новых простых чисел Мерсенна) обнаружил новое самое большое известное простое число:

Новое простое число также именуется M82589933 и в нём более чем на полтора миллиона цифр больше, чем в предыдущем (найденном годом ранее).

Источник

Читайте также:  Как восстановить цвет каблука

Слово "Цвет" и его описание © 2021
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению. Обязательно проконсультируйтесь с вашим лечащим врачом!

2 3 5 7 11 13 17 19 23
29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
71 73 79 83 89 97 101 103 107 109
113 127 131 137 139 149