Меню

Учебник по математике 6 класс мерзляк полонский якир зеленого цвета



ГДЗ по математике 6 класс Мерзляк, Полонский, Якир смотрите ответы из учебника онлайн

Чтобы уроки были сделаны вовремя, а оценки радовали шестиклассников и их родителей, загляните в ГДЗ по математике 6 класс Мерзляк. Эти материалы всегда придут на помощь в трудную минуту – дадут верные ответы на устные задания, поэтапно объяснят решение сложных задач, покажут правильное оформление письменной работы. Если решебник под рукой, то и выполнение домашней превратится в удовольствие!

ГДЗ (решебник) по математике за 6 класс Мерзляк — бесплатные ответы

В школе нагрузка становится больше с каждым годом, а количество часов в сутках не меняется. Поэтому ученикам нужна помощь. Родители могут заплатить деньги репетитору или разрешить ребятам пользоваться бесплатными ГДЗ по математике 6 класс Мерзляк. Работать с грамотно составленным решебником удобно разными способами:

  • Если пора спать, а домашняя еще не сделана, стоит ее просто списать.
  • Когда время есть, задачи и примеры надо решать самостоятельно, а потом сверять ответы и исправлять неверно решенные номера.
  • В случае плохо понятой темы или пропущенного урока, лучше сразу смотреть пособие и разбираться с каждым шагом верного решения.

Чтобы гарантировано получить «пятерку», следует использовать ГДЗ, которые написаны опытными педагогами, не только знающими школьную программу, но и умеющими доступно объяснять материал. Именно такой решебник по математике за 6 класс Мерзляк выложен на сайте GDZ-online.

Источник

ГДЗ по математике за 6 класс Мерзляк, Полонский, Якир Учебник Вентана-Граф ФГОС (к новому 2019 и старому изданию)

Рекомендуем посмотреть

ГДЗ по математике за 6 класс Мерзляк – это уникальное пособие, созданное специально по стандарту для помощи ученикам средней школы. Сборник включает в себя правильные ответы ко всем номерам из основного учебника.

Все упражнения выполнены и оформлены в соответствии с ФГОС (федеральным государственным образовательным стандартом) и проработаны квалифицированными специалистами, которые имеют большой опыт за своими плечами, это исключает наличие каких-либо ошибок в расчетах.

Как пригодится в учебе сборник с ГДЗ по математике для 6 класса Мерзляка

Данный предмет является одним из самых сложных в школьной программе. Особенные трудности с ним возникают у тех, кто имеет гуманитарный склад ума. Если же некоторые могут сходу в уме посчитать какое-нибудь уравнение, то для других это будет весьма непросто.

Чтобы идти в ногу со всеми и получать только положительные отметки, рекомендуется пользоваться решебником с готовыми ключами. Он призван помочь шестиклассникам:

  • проверить правильность выполнения д/з;
  • подготовиться к проверочной, контрольной, тестам;
  • разобрать новый материал;
  • закрепить уже изученное;
  • восполнить пробелы в знаниях по причине отсутствия.

Так, к особенностям учебно-методического комплекса можно отнести то, что он имеет свою онлайн-версию, позволяющую без труда найти верные решения в интернете. Доступ к платформе есть на любом устройстве (ноутбук, планшет, телефон, компьютер и т. д.). Только представьте, насколько это удобно и практично, ведь теперь не придется бегать в поисках печатного издания по всему городу.

Решебник по математике за 6 класс (авторы: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир) отличный помощник для всех учеников. С ним больше не страшны вопросы учителя. Наоборот, теперь школьник будет сам тянуть руку, чтобы ответить на уроке с места или у доски, ведь он всегда уверен в своих знаниях и готов к уроку на все сто.

Номера

Решаем устно

Вопросы к параграфу

Приложение

Проверьте себя

В шестом классе школьники завершают изучение математики как единого предмета. Больше в их жизни такого не будет. С седьмого класса начнутся алгебра и геометрия, а с десятого к ним подключится тригонометрия. В конце же школьного курса будут проходиться еще и начала анализа как элементы высшей математики. Из всего этого следует, что именно в текущем году следует максимально полно разобраться с возможными пробелами в арифметике. Например, следует подтянуть таблицу умножения, научиться работать с дробями, разобраться с геометрическими фигурами на плоскости и методами их расчета (определение величин углов и длин сторон по некоторым изначально заданным параметрам).

Решебник Мерзляк А.Г. преследует своей целью помочь ученикам лучше разобраться с темами и параграфами, сформировать фундамент из практических умений и навыков. Последний сможет оказать достойную помощь при изучении других точных дисциплин. Книга издается издательством «Вентана-граф». Благодаря своей популярности среди учителей средних школ она регулярно переиздается и распространяется по многим библиотекам страны.

В чем польза от ГДЗ Мерзляка, Полонского, Якира (6 класс) онлайн?

Прежде всего, работать с таким видом методической литературы очень просто. Достаточно знать номер, который легко найти в таблице на сайте и посмотреть его верное решение. Ответы приведены в виде готовых домашних заданий (ГДЗ). Таким образом, у ученика появляется полноценная возможность посмотреть «как надо», а потом отработать правильный алгоритм действий на практике. Среди других преимуществ сборника можно отметить следующие:

  • каждая задача имеет свой номер в таблице оглавления;
  • ответы снабжены подробными пояснениями и отсылками к учебнику того же коллектива авторов;
  • смартфон, планшет или компьютер с доступом в сеть интернет позволяет полноценно заниматься в любое время суток;
  • приведено несколько равноценных способов решения.

Регулярные занятия, несомненно, положительно отразятся на успеваемости и помогут почувствовать уверенность в себе. С решебником легко понять, что математика не так сложна, как это в начале часто кажется.

Что ученики в 6 классе будут изучают с ГДЗ (автор: Мерзляк) по математике?

Содержание пособия с верными ответами полностью соответствует ФГОС (федеральным государственным стандартам образования). Оно рекомендовано для использования в любой общеобразовательной школе. Рабочая программа достаточно насыщена, поэтому начинать серьезно относиться к процессу учебы рекомендуется с первого сентября:

  • линейная функция. Определение, график, а также альтернативные способы записи.
  • системы двух линейных уравнений. Выполнение проверки результатов путем подстановки полученных чисел в исходную запись;
  • графический метод решения задач;
  • функция параболическая. Ее аналитическая запись, ветви. Нахождение оси симметрии данной фигуры.

Примеры готовых решений на сайте могут быть рекомендованы самым широким массам учащихся для подготовки к контрольным, проверочным, тестовым и самостоятельным работам.

Источник

Учебник Математика 6 класс Мерзляк Полонский Якир

7 ’ 3 Заметим, что частное у можно получить в результате умножения дели-бь, об 6 2 5 мого — на дробь, обратную делителю — , т. е. на дробь -. Действительно, OD О А А А 35 * 2 7^ ■ Xi тл 6 2 6 5 3 ^^5=^-2 = 7- Вообищ, деление дробей можно свести к умножению дробей, пользуясь следующим правилом. dli Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. 83 в буквенном виде это правило записывают так: а . с_ Ь ‘ d а J Ь с 1 — — — п — Обратим внимание, что 0. На нуль делить нельзя. 6 7 9 Пример 1. Выполните деление: 1) 10:-; 2) 1-:1 —. 7 8 16 Решение. 1) Записав делимое в виде дроби со знаменателем 1 и применив правило деления дробей, получим: 10 6 _ 10 6 _ 10 7 __ 35 _ 2 7 1 • 7 Гб ьХ, “ 3 2) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а затем выполним деление по правилу деления дробей: iZ • 1 А = 15 . 25 ^ ^ 3^ = — = li 4 8 ■ 16 8 ■ 16 ,/ Н-, 1’5 5 5 Пример 2. Велосипедист проезжает расстояние между сёлами Солнечное и Счастливое за 2 ч, а пешеход проходит это расстояние за 6 ч. Велосипедист и пешеход одновременно отправились из этих сёл навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся? Решение. Расстояние между сёлами примем за единицу. За 1 ч велосипедист проезжает i этого расстояния, а пешеход проходит ^ расстояния. 1) i + i = 5 + i = i = ‘ 2 6 6 6 6 И пешеход за 1 ч вместе. 2 3 3 2) ^ • 3 “ ^ ■ 2 “ 2

время, за которое велосипедист и пеше- ход преодолеют всё расстояние. Таким образом, они встретятся через 1,5 ч. Ответ: 1,5 ч. ◄ п С^В 1. Сформулируйте правило деления дробей. 2. Как разделить одно смешанное число на другое? (расстояния) — преодолеют велосипедист Решаем устно 1. Найдите число, обратное числу: 2) 3; .)f: 4) 0,5; 5) 0,01; 6) 3,1. 84 Найдите произведение: 1) числа ^ и числа, обратного i 2) числа yy и числа, обратного 7; 3) числа 6 и числа, обратного 18; 1 2 4) числа 1 — и числа, обратного —. 5 5 3. Сколько килограммов содержится: 1) в — т; 3) в — т: 5) в — ц; 2) в — т; 4) в — ц; 6) в — ц; За пять дней отремонтировали ^ дороги. Какую часть дороги ремонтировали за 1 день? За сколько дней отремонтируют всю дорогу? (Производительность труда во все дни одинакова.) Упражнения 446. Выполните деление: 3 5 1) — • — • З)—- — — ^7*6’ ‘ 43 ’ 2) 2 14 21 447. Выполните деление: И . 3 . 15 ■ 8 ’ 6 18 4)1.21. 4 ■ 40 ’ 1) 2) 04 12 . 48 55 • ^ ’ 35 ■ 25 ’ 448. Найдите частное 4) ^ . 3 . 40 ■ 4 ’ ^ 25 ■ 50 ’ 04 45 63 5) ^ 50 ■ 25 ’ 63 45 б?-Вб = 7) 1-1- ^ 3 ‘ б’ 8) ^ 98 49 7) ^ 8 ■ 32 ’ 8) 11:1. ^ 55 5 1) 10:|; 3) 5)1:|; 7) iZ • 2 — • ^ 8 32 ’ 2) 12:||; 4) И:.о: 8) 5-1 :ll. ^ 3 9 Найдите частное: 1)6:1; 3) 5)^:6; 2) 16:±; 4) 85 450. Найдите значение выражения: 7) 2) 3 г(Н> A + iVl. 12 8 j’ 8’ ^ 9 32 36 10) 2 6 . 5 7 ■ 6 _9_ 14 ^4 11 8 8 6) 3 451. Найдите значение выражения: с: 1 и 2 5 — : 4 — 6 15 _3_ 92 1) 12 : з|-1- : ^ 8 4 32 31 19 2) l^^:|2-^:l^j 452. Решите уравнение: 35 ‘ ( 9 » 45 27 1) = ^ 7 14 ’ 2) |д: = 6; 453. Решите уравнение: 3) Зх = ^: 6 3 4) х:- = — 5) = A 49 ■ 35 6) |лг = 2,4. 5 3) 4х = 1; 5) . 4 4- : X 5 . 27 » 18 ’ 9 27’ 17 = 39; 4) ^•^15 16’ 6) 1-х = 9 5,2. 454. 455. Найдите скорость поезда, если за — ч он проехал 34 — км. 15 3 За какое время автобус проедет 63 км, если его скорость составляет 50- км/ч? 5 Сколько стоит 1 кг конфет, если за 2- кг заплатили 220 р.? 456. 457. Какова масса 1 дм^ сплава, если масса 5-^ дм‘^ этого сплава равна 3^ кг? 458. В двух цистернах 120 т нефти. Сколько тонн нефти в каждой цистер- 2 не, если в одной из них ^ g раза больше нефти, чем в другой? 86 459. В двух контейнерах 90 кг яблок. Сколько килограммов яблок в каж- дом контейнере, если в одном из них в 2- раза меньше яблок, чем 3 в другом? 30 460. Найдите среднее арифметическое чисел: 1 1.5 7 6 “20 = 2) if и2|^ 3)2|.зАи2- 4) 7 24 с 7 Q 1 б— и 8-24 6 461. Найдите значение выражения: 3 : 3 9|:12 4 1 1?5 36 462. Найдите значение выражения: 463. Решите уравнение: 1) 5 2) 7 3) 3 11 5 . 5) 2- : лг-1- = 1-; 14 15 ‘ 21 ’ 3 6 9 3 25 + = = 8^; 6) 2i: fx-li 1=1-; 10 28 35 3 1 6 ) 9’ 1_ = 1^; 7) 27: f3lf-2 fix/ 3 20 15 7 14 3 7 5 Q 464. Решите уравнение: ’^П 16 4’ 2)4|**ЗА = 611; ^ 18 27 12 ’ 8) 48:(5l*^25).ll. 4) -X+ -Х + -Х = li^; 19 75 1 3 19 5) 41:х + 1| = з»^ 28 ’ 6) 3 3-|^ ^15 3 —. 13 465. Автомобиль едет со скоростью 80 км/ч. Сколько километров он проезжает за 1 мин? Выразите скорость автомобиля в метрах в минуту. 466. Пешеход двигается со скоростью 5 км/ч. Выразите его скорость в метрах в минуту и в метрах в секунду. 87 467. Из села до места рыбалки Иван Петрович проплыл на плоту 10— км, 5 а возвращался на лодке, которая двигалась со скоростью 4— км/ч, 5 потратив на обратный путь на 1- ч меньше. Найдите скорость течения реки. 468. Теплоход проходит 40- км по течению реки за 1^ ч. На сколько больше времени уйдёт на обратный путь, если скорость течения рав- 3 на 3-^ км/ч? ® 3 469. Длина трамвайного маршрута 15— км. На маршруте есть 12 остановок, на каждой из которых трамвай стоит 1 ^ мин. За какое время трамвай преодолеет весь маршрут, если его скорость равна 13^ км/ч? 8 7 1 470. Длина маршрута, который автобус проезжает за — ч, равна 20— км. Автобус движется по маршруту со скоростью 45 км/ч и делает 10 остановок. Сколько времени длится каждая остановка автобуса, если на каждой остановке он стоит одинаковое время? 1 3 471. Необходимо расфасовать 32- кг сахара в пакеты по — кг в каждом. Сколько получится полных пакетов? 472. Для перевязывания одной пачки книг требуется 1^ м верёвки. На 3 сколько таких пачек хватит 18 м верёвки? 473. Какое наименьшее количество банок ёмкостью 0,3 л необходимо взять, чтобы разлить в них 5 л варенья? 474. Какое наименьшее количество бидонов ёмкостью необходимо взять, чтобы разлить в них 70 л молока? 475. Мастер Иван Иванович может отремонтировать кабинет математики за 24 ч, а мастер Пётр Петрович — за 48 ч. За сколько часов, работая вместе, они отремонтируют этот кабинет? 476. Кот Том съедает жареную индейку за 20 мин, а мышонок Джерри — за 30 мин. За сколько минут Том и Джерри съедят индейку вместе? 477. Первый рабочий может выполнить задание за 30 ч, а второму для этого необходимо в 1 ^ раза больше времени, чем первому. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них? 1 88 478. Первый тракторист может вспахать поле за 12 дней, второму на это 479. <> 480. 481. 482. 484. требуется в 1— раза меньше времени, чем первому, а третьему — 5 в 1- раза больше, чем второму. За сколько дней они вместе могут вспахать поле? Какую часть поля при этом вспашет каждый из них? Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 10 ч. Наполнение бассейна через вторую трубу потребует ^ раза меньше времени. За какое время наполнится бассейн, если открыть одновременно обе трубы? Какую часть бассейна наполнит при этом каждая труба? Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Один из них, работая самостоятельно, может выполнить эту работу за 15 ч. За сколько часов её может выполнить самостоятельно другой рабочий? Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя городами за 36 ч. Если одновременно из этих городов выйдут навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, то они встретятся через 20 ч после начала движения. За какое время товарный поезд может преодолеть расстояние между городами? Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 3 ч, а через вторую — за 6 ч. Сначала 2 ч была открыта первая труба, затем её закрыли и открыли вторую трубу. За сколько часов был наполнен бассейн? 483. Первая бригада может выполнить заказ за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Сначала три дня работала первая бригада, а затем её заменила вторая. За сколько дней был выполнен заказ? Выполните деление (буквами обозначены натуральные числа): п . 4^ . ’ 21 ‘ 49 ’ 04 Ит . 22п ^ 9п ■ 27т 3) ЗбаЬ 17с 2\Ь 34с 4) ?>2у 17 X Щ 485. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на — 6 ^ и на — в результате получим натуральные числа. ‘ 4 486. Который сейчас час, если до конца суток осталось — того времени, что уже прошло от начала суток? 487. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на 6 8 12 YY J на — и на — в результате получим натуральные числа. 89 488. Найдите значение выражения: 1) 1- » ^4 8- 1 1 2 3 8-ь 1 3) 1+ 1+ 1+ 489. Вычислите: 1 1) 2 + 2) 1 + 3) 2- 2 + 490. Увеличится или уменьшится значение дроби и во сколько раз, если к её знаменателю прибавить число, равное этому знаменателю? 491. Лодка проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки то же расстояние — за 5 ч. За сколько часов такое же расстояние проплывёт плот по реке? 492. Некоторое расстояние по течению реки катер проходит за 3 ч, а плот — за 15 ч. За сколько часов катер проходит такое же расстояние против течения реки? 493. Теплоход проходит некоторое расстояние по течению реки за 2 ч, а против течения — за 3 ч. За сколько часов это же расстояние проплывёт плот? Упражнения для повторения 494. В первый день туристы прошли — намеченного пути, во второй — 30 % пути, а в третий — остальной пу’гь. Какую часть пути прошли туристы за третий день? 495. Угол АВС — прямой, луч ВМ проведён так, что ZMBC = 120°, луч ВК — биссектриса угла ЛВС. Вычислите градусную меру угла МВК. Сколько решений имеет задача? Задача от мудрой совы 496. В один ряд расположены 1 000 фишек. Любые две фишки, расположенные через одну, разрешается поменять местами. Можно ли переставить фишки в обратном порядке? 90 15, Нахождение числа по заданному значению его дроби Рассмотрим такую задачу. На приусадебном участке растёт 28 вишен, что составляет ^ количества всех деревьев, растущих в саду. Сколько всего деревьев растёт на участке? В 5 классе мы решали эту задачу но такой схеме: 1) найдем, сколько деревьев составляет — количества всех деревьев: 28 : 7 = 4 (дерева); 2) найдём, сколько всего деревьев растёт на участке: 4 • 9 = 36 (деревьев). в этой задаче, зная, что 28 деревьев составляют — количества всех де- 9 ревьев, мы нашли общее количество деревьев в саду. Подобные задачи называют задачами на нахождение числа по заданному значению его дроби. Заметим, что найденный ответ (36 деревьев) можно получить другим 7 способом. Для этого число 28 можно разделить на дробь -: 4. 9 28:| = ^ 9 4-9 = 36. Рассмотренный пример иллюстрирует следующее правило. (ki Чтобы найти число по заданному значению его дроби, можно данное значение разделить на эту дробь. Пример. В бочку налили 84 л воды. Каков объём этой бочки, если оказалось, что заполнено 70 % её объёма? Решение. Запишем 70 % в виде десятичной дроби: 70 % = 0,7. Следовательно, 84 л составляет 0,7 объёма всей бочки. Тогда объём бочки равен: 84 : 0,7 = 120 (л). Ответ: 120 л. ◄ Рассмотренный пример иллюстрирует следующее правило. ^ Чтобы найти число по его процентам, можно представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь. 1. Как найти число по значению его дроби? 2. Как найти число по его процентам? 91 ПШ’ Решаем устно 1. За какое время работник выполнит всю работу, если за 1 ч он вы- 2. 3. 1 3 полнил: 1) — работы; 2) — работы? 5 8 Конфеты разложили в коробки по — кг в каждую. Сколько вышло ко- 8 робок, если конфет было 5 ^ кг? Сергей покрасил в субботу забора. В воскресенье к нему присоединились двое друзей, и они с Сергеем докрасили оставшуюся часть, поделив её поровну между собой. Какую часть забора покрасил каждый из друзей Сергея в воскресенье? о\ Упражнения 11 4 19 94 Найдите число, если: 1) 2) ^; 3) 0,4; 4) ^; 5) ^; 6) ^ его равня- 4 4 У 14 /о 497. 498. 499. Найдите число ется 48. Найдите число, если: 1) 2) 0,2; 3) §; 4) 5) 6) ^ его равня- 2 3 8 11 13 ется 56. 1) — которого равны 12; 0 2) — которого равны 24; 13 7 3) — которого равны 63; 9 500. Найдите число: g 1) — которого равны 40; о\ 5 .4 2) — которого равны 4— ; 501. Найдите число, если: 1) 24 % этого числа равны 48; 2) 75 % этого числа равны ^ ; 502. Найдите число, если: 1) 13 % этого числа равны 52; 4) 0,9 которого равны 81; 9 ^1 5) — которого равны 7—; 5 5 6) — которого равны -. 15 3) — которого равны 120; 8 3 9 4) ^ которого равны . 5 10 3) 3-^% этого числа равны 5; 4 4) 108 % этого числа равны 86,4. 2) 80 % этого числа равны ^. 5 92 503. В зрительном зале Пермского театра оперы и балета 972 места, что составляет количества мест для зрителей в большом зале Ново-148 сибирского театра оперы и балета. Сколько мест для зрителей в большом зале Новосибирского театра оперы и балета? Пермский театр оперы и балета Новосибирский театр оперы и балета 3 504. Миша прочитал 144 страницы, что составило ^ количества страниц в книге. Сколько страниц в книге? 505. Команда шестиклассников выиграла соревнования по футболу. Её 4 лучший бомбардир забил 16 голов, что составляло — всех голов, забитых этой командой. Сколько всего голов забила команда шестиклассников? 506. Чему равно расстояние между двумя городами, если 36 км составляет 15 % этого расстояния? 507. На приобретение книг для школьной библиотеки выделили определённую сумму денег, 8 % которой потратили на приобретение словарей. Какую сумму выделили на приобретение книг, если на словари потратили 1 200 р.? 508. На завтрак Винни-Пух съел — бочонка мёда, а на обед — остальные 22 кг. Сколько килограммов мёда было в бочонке? 509. В магазин привезли груши. В первый день продали — всех груш, а во второй — остальные 128 кг. Сколько килограммов груш продали за два дня? оо V 40 510. 1) Одно из двух слагаемых равно 320, что составляет — их суммы. Найдите второе слагаемое. 2) Найдите разность двух чисел, если вычитаемое равно 49, что со-7 ставляет — уменьшаемого. 93 511. 1) Одно из двух слагаемых равно 42, что составляет — второго слагаемого. Найдите их сумму. 2) Найдите разность двух чисел, если уменьшаемое равно 90 и состав-9 ляет — вычитаемого. 5 3 512. В школьном хоре поют 24 девочки, что составляет — количества мальчиков, поющих в хоре. Сколько всего детей в этом хоре? 5 7 513. Одна из сторон прямоугольника равна 2 — дм, что составляет — дли- 8 6 ны другой стороны. Найдите периметр и площадь прямоугольника. 514. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 45 см, ширина со- 4 12 ‘ ставляет — длины и — высоты. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда. 515. Периметр треугольника равен 56 см. Длина одной из его сторон со- 5 15 ставляет — периметра и — длины другой стороны. Найдите стороны треугольника. 516. Периметр прямоугольника равен 1э^ см, что составляет ^ длины 3 б прямоугольника. Найдите шириггу прямоугольника. 517. Ученики 6 класса посадили возле школы деревья. Фруктовые деревья составляют ^ посаженных деревьев. Вишни составляют — фрукто-15 11 вых деревьев. Сколько всего деревьев посадили шестиклассники, если вишен посадили 12? 518. На птицеферме разводят кур, уток и индеек. Утки составляют 0,42 всех 9 птиц, а индейки — — уток. Сколько всего птиц на ферме, если ин-28 деек — 54? 519. В детский санаторий привезли апельсины, мандарины и яблоки. Апельсины составляют — всех фруктов, мандарины — , а яблоки — 18 12 остальные 28 кг. Сколько килограммов фруктов привезли в санаторий? 7 520. Известно, что — армии царя Гороха составляли стрелецкие полки, оа -— армии — драгунские полки, а остальные zo полков — казацкие. 30 Сколько полков было в армии царя Гороха? 521. Пётр, Фёдор и Иван собирали яблоки. Иван собрал 23 % яблок, Пётр — 39 %, а Фёдор — остальные 190 кг. Сколько килограммов яблок они собрали вместе? 94 522. Сколько килограммов овощей привезли в магазин, если огурцы составляют 27 % овощей, картофель — 42 %, а остальные 496 кг — капуста? 523. Готовясь к олимпиаде по математике, Максим в субботу и воскресенье 7 решал задачи. В субботу он решил — всех задач, а в воскресенье — 2 — всех задач и остальные 14 задач. Сколько всего задач решил Максим за два дня? 524. Готовясь к олимпиаде по английскому языку, Галина занималась пе- о 5 реводом текста. За один день она перевела — всех страниц и еще 3 10 страниц, после чего ей осталось перевести — страниц текста. О Сколько всего страниц составляет текст? 525. Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников в его школе, великий древнегреческий учёный Пифагор ответил: «Половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть проводит время в молчаливых размышлениях, кроме того, есть ещё три женщины». Сколько учеников было в школе Пифагора? Пифагор (ок. 580 — ок. 500 до н. э.) Древнегреческому философу и математику приписывают систематическое введение в математику доказательных рассуждений, создание учения о подобных фигурах, доказательство теоремы, носящей его имя, учение о чётных, нечётных, простых и составных числах, учение о пропорциях. 526. Найдите число, ^ которого равны ^ от числа 280. 7 3 527. Найдите — числа, — которого составляют 36. 95 13 528. Буратино потратил ^ своих денег на покупку учебников, а на по- 28 купку конфет — ^ оставшихся денег. После этого у него осталось 18 35 сольдо. Сколько сольдо было у Буратино сначала? 529. Три мышонка нашли головку сыра. Один мышонок съел головки, 7 2 второй — — остатка, а третий — остальные 1 — кг сыра. Какова была 15 3 масса головки сыра? 530. В первый день в магазине продали ^ завезённой ткани, во второй — 35 % остатка, а в третий — остальные 52 м. Сколько метров ткани завезли в магазин? 3 531. За первый месяц отремонтировали 55 % дороги, за второй — ^ остат- 8 ка, а за третий — остальные 45 км. Сколько километров дороги отремонтировали за три месяца? 532. Альпинисты в первый день преодолели ^ высоты горы, во второй — 1 . . 1 . — оставшейся высоты, в третий — снова — оставшейся высоты, 3 3 а в четвёртый — преодолели остальные 800 м и достигли вершины. Найдите высоту этой горы. 4 533. Упражнения для повторения Найдите значение выражения: ^ 9 9 ^6 [l9 ^ 38 76 J’ 2) 534. Решите уравнение: 1)|лг = 1: 2)5х = |: 535. Найдите координату точки А (рис. 11) Л 5 1П оЗ ^2 ,2.5 (^м»Зб)’^5-27″^7’^9- 4) 7х = 20. 3) 4х = — ; Рис. 11 Л 1 i 1 Л 1 1 1^1 Л —^^ 1 • 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1*1 1 f 1 а б в 96 536. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы трёхзиачное число *8* делилось нацело на 9. Найдите все возможные решения. Готовимся к изучению новой темы 537. Из чисел 20, 45, 50, 125, 64, 505 выберите те, разложение которых на простые множители содержит только числа 2 и 5. 538. Можно ли несократимую дробь со знаменателем 3 привести к дроби со знаменателем 10? 100? 1 000? Ответ обоснуйте. Задача от мудрой совы 539. После того как кусок мыла, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, использовали для стирки семь раз, его длина, ширина и высота уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска мыла? ^ 16. Преобразование обыкновенной дроби в десятичную Напомним, что для обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1 000 и т. д. используется «одноэтажная» форма записи — десятичные дро- би. Например, X = о,7; :^ = 0,23; ^ = 0,019. Любую десятичную дробь можно преобразовать в обыкновенную дробь. Например, 0 9 = — = — 9 75 10 5’^’ 9^ = 2^ = — 100 4 4 С помощью основного свойства дроби можно, например, дроби ^ преобразовать в десятичные: 1 = -L1 = 2 “ 2 • 5 “ ^ ^ 23 • 2 50 50-2 ^ Чтобы несократимую дробь ^ преобразовать в десятичную, не- h обходимо привести её к одному из знаменателей 10, 100, 1 000 и т. д. Какой же из этих знаменателей выбрать? Заметим, что при приведении несократимой дроби к новому знаменателю «старый» знаменатель яв- 97 ляется делителем нового. Поэтому знаменатель дроби ^ должен быть делителем одного из чисел 10, 100, 1 000 и т. д. 3 Например, преобразуем дробь — в десятичную. Числа 10 и 100 не делятся нацело на 40, поэтому они не подходят в качестве знаменателя. А вот 40 \25 75 1 000 число 1 000 делится нацело на 40 (1 000 : 40 = 25). Отсюда = 0,075. Однако не каждую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной. ^ Рассмотрим, например, дробь -. Из признака делимости на 9 следует, что ни одно из чисел 10, 100, 1 000 и т. д. нацело на 9 не делится. Следовательно, дробь ^ преобразовать в десятичную не удастся. А как распознавать несократимые дроби, которые можно представить в виде десятичных? Заметим, что каждое из чисел 10, 100, 1 000 и т. д. имеет только два простых делителя: 2 и 5. Действительно, 10 = 2-5, 100 = 2^ • 5^, 1 000 = 2^-5^ и т. д. Поэтому можно сделать следующий вывод. 0 Несократимую дробь ^ можно преобразовать в десятичную толь- о ко тогда, когда разложение знаменателя Ь на простые множители не содержит чисел, отличных от 2 и 5. Напомним, что обыкновенные дроби можно преобразовать в деся- 3 тичные и другим способом. Преобразуем, например, дробь — в десятич- 3 ную. Имеем ^ Теперь выполним деление уголком: 16 3,0000 о 30 16 140 128 120 ”112 80 80 о 16 0,1875 98 Следовательно, = 0,1875. 1Ь ^ Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, можно её числитель разделить на знаменатель. сЬ 1. в каком случае несократимую дробь можно преобразовать в десятичную? 2. Как преобразовать обыкновенную дробь в десятичную? Решаем устно 1. Заполните цепочку вычислений: 2. 3. Выполните деление: 1) 2:5; 2) 1 : 2; 3) 3 : 4; 4) 8 : 5. 2 4 Тракторист вспахал — поля за — ч. За какое время он вспашет всё по- 3 5 ле, работая с той же производительностью труда? Упражнения 540. Какие из данных обыкновенных дробей можно преобразовать в десятичную: 1) — • 2) — • 3) — • ’ 5′ ^ 3 ’ ^ 8 ’ 4) ’ 400’ 5) — • ^ 125 ’ 6) — ? 150 541. Какие из данных обыкновенных дробей можно преобразовать в деся- тичную: 16 ’ 200 ’ 12 ’ 5)^-^ 600 ’ 542. Преобразуйте в десятичную дробь: 20’ 25’ 40’ 5) риодическую десятичную дробь. Нахождение десятичного приближения обыкновенной дроби Чтобы найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда, надо: 1) выполнить деление до следующего разряда; 2) полученную конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь округлить до нужного разряда. 109 Глава 3. Отношения и пропорции Изучив материал этой главы, вы узнаете, что называют отношением двух чисел; какое равенство называют пропорцией; что такое процентное отношение двух чисел; какие связи между величинами называют прямой и обратной пропорциональными зависимостями; как можно найти вероятность случайного события. Вы познакомитесь со следующими геометрическими фигурами: окружность, круг, цилиндр, конус, сфера, шар. Научитесь находить длину окружности и площадь круга. ^ 19. Отношения в русском языке много синонимов. Например, слова урок и занятие, дум[ать и мыслить, учитель и педагог близки по значению. Примеров, когда одно и то же понятие имеет разные названия, немало и в математике. Вторая степень числа и квадрат числа, один процент величины и одна сотая величины, луч и полупрямая — уже знакомые тебе математические синонимы. Вот ещё один пример такого рода. @ Частное двух чисел а)лЬ, отличных от нуля, называют отношением чисел а и или отношением числа а к числу Ь. Например: 16 : 4 — отношение числа 16 к числу 4; 3:7 — отношение числа 3 к числу 7; 2 1 2 1 — отношение числа — к числу -; 0,2 : 0,11 — отношение числа 0,2 к числу 0,11. В отношении числа а к числу h чйсла а w Ь называют членами отношения, число а — предыдущим членом отношения, а число Ь — последующим. Отношение двух натуральных чисел а и Ь можно записать в виде дроби . Так же договорились использовать черту дроби и в тех случаях, когда 110 а w b — дробные числа. Например, отношение 0,3 : 1,2 записывают и так: 1,2’ Таким образом, отношение чисел а и Ь можно записать двумя способами: т или а : Ь. п Чаще всего выбор способа записи определяется её компактностью. 5 Например, запись отношения числа ^ к числу в виде у не удобна. Если а и h — натуральные числа, то, записав их в виде отношения ^ , на основании основного свойства дроби можно сделать следующий вывод. Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Это свойство называют основным свойством отношения. Оно остаётся справедливым и в тех случаях, когда члены отношения — дробные числа. Например: 1,2 _ 1,2 10 _ 12 25 ’ 9=6:7; 2,5 2,5-10 3 9 1^3 ) [9 l|:0,25 = |^l|-4j:(0,25-4) = 6:l. Эти примеры иллюстрируют следующее: отношение дробных чисел моэюно заменить отношением натуральных чисел. Пример 1. Найдите отношение 3,2 м к 16 см. Решение. Чтобы найти отношение данных величин, необходимо сначала выразить их в одинаковых единицах измерения, а затем выполнить деление. Имеем: 3,2 м : 16 см = 320 см : 16 см = 20. Ответ: 20. ◄ Пример 2. Замените отношение — : — отношением натуральных чисел. 111 7 4 Решение. Умножив каждую из дробей — и — на их наименьший об- 15 45. получим: = (^^.45 45 = 21 :20. щии знаменатель — число Ответ: 21 : 20. ◄ Часто отношение используют тогда, когда необходимо сравнить две величины. На рисунке 12 изображены два отрезка: АВ = 5 см, CD = 2 см. Отношение длины отрезка АВ к /ушне отрезка CD равно 5 : 2 или 2,5. Это отношение показывает, что длина отрезка АВ в 2,5 раза больше длины отрезка CD или длина отрезка АВ составляет — длины отрезка CD. Отношение длины отрезка CD к длине отрезка АВ равно 2 : 5. Это отношение показывает, что длина отрезка CD составляет 2 — длины отрезка АВ. Отношение чисел а ^ Ь показывает, во сколько раз число а больше числа Ь или какую часть число а составляет от числа Ь. Приведём ещё примеры использования отношений: • скорость — отношение длины пройденного пути ко времени, за которое пройден этот путь; • цена — отношение стоимости товара к количеству единиц его измерения (килограммов, литров, метров, коробок и др.); • плотность — отношение массы вещества к его объёму; • производительность труда — отношение объёма выполненной работы ко времени, за которое выполняется эта работа. При составлении планов и географических карт участки земной поверхности изображают на бумаге в уменьшенном виде. Важно, чтобы при этом полученный рисунок давал представление о реальных размерах изображённой на нём местности. Для этого на карте (плане) указывают отношение, показывающее, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше длины соответствующего отрезка на местности. Это отношение называют масштабом карты (плана). На рисунке 13 изображена карта, масштаб которой равен 1 : 5 000 000. Это означает, что 1 см на карте соответствует 5 000 000 см на местности, что составляет 50 км. Чтобы с помощью этой карты определить расстояние от Салехарда до Надыма, надо измерить расстояние между точками, изоб- 112 ражающими указанные города. Полученную величину (5,8 см) следует умножить на 5 000 000. Тогда искомое расстояние будет 29 000 000 см = 290 км. 1. 2. 3. 4. 3. Назовите в отношении т : п последующий и предыдущий члены. 4. В чём состоит основное свойство отношения? 5. Что показывает отношение двух чисел? 6. Какие вы знаете величины, являющиеся отношением двух других величин? 7. Объясните, что такое масштаб. Решаем устно Чему равно частное чисел: 1) 54 и 6; и ^ f 2) 0,4 и 5; 4) 6 и 9; 5) 8 и 11; 6) 3 и ’ 3 Во сколько раз: 1) 24 больше, чем 3; 2) 0,2 меньше, чем 1,8? Какую часть: 1) число 7 составляет от числа 21; 2) число 0,3 составляет от числа б? 3 Замените дробь — равной ей дробью: 1) со знаменателем 10, 15, 45; 2) с числителем 12, 15, 36. 113 Упражнения 576. Запишите с помощью знака деления «:» отношение чисел: 1)7иЗ; 2) 4 и 28; 3) 2,1 и 3,4; 577. Запишите с помощью черты дроби отношение чисел: 1) 13 и 50; 2) 5 и 2; 3) 8 и 4,6; 4) 4)21и7|. И 578. 579. Найдите отношение: 1) 1,8 : 5,4; 5) 3 дм : 5 см; 2) 2,4 : 0,08; 6) 8 м : 1 км; 3) 3,5 : 49; 7) 12 м : 1,8 км; 4) 9,6 : 0,16; 8) 24 кг : 480 г; Найдите отношение: 1) 45 к 5; 4) 4,8 к 0,12; 2) 4 к 24; 5) 1,8 м к 30 см; 9) 360 г : 5,4 кг; 10) 14,4 дм : 160 см; 11) 1 ч : 24 мин; 12) 78 см2.2,6 дм2. 3)2iKl|i; 6) 1 КГ к 125 г. 580. 581. 582. 583. 584. 585. 586. В спортивных соревнованиях участвовали 72 школьника, среди которых было 18 девочек. Во сколько раз всех участников соревнований было больше, чем девочек? Какую часть всех участников составляли девочки? В сплаве, масса которого равна 250 кг, содержится 20 кг меди. Во сколько раз масса сплава больше, чем масса меди, содержащейся в нём? Какую часть сплава составляет медь? Равны ли отношения: 1) 16 : 4 и 0,8 : 0,2; 3) 0,3 : 0,06 и 1у 21 2)М ^ 85 и 27 4) 4,2 45’ 0,7 Во сколько раз расстояние на карте меньше расстояния на местности, если масштаб карты 1 : 200 000? Во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте, если масштаб карты 1 : 40 000? Расстояние между городами Париж и Тулуза на карте, масштаб которой 1 : 9 000 000, равно 6,7 см. Вычислите расстояние между этими городами на местности. Расстояние между городами Яблоневое и Грушевое равно 240 км. Каким будет расстояние между этими городами на карте с масштабом 1 : 600 000? 114 оо V 587. Расстояние между городами Зеленогорский и Синеозёрный равно 320 км. Каким будет расстояние между этими городами на карте с масштабом 1 : 4 000 000? 588. Замените данное отношение отношением натуральных чисел: О 1)1: 8 3) ^ 4 ■ 18’ ^ 3 3 589. 2) А.12. ^ 12 ■ 18 ’ Замените отношение дробных чисел отношением натуральных чисел: 4 . И. 9 ■ 9 ’ 1) 3)2|:3| 2) 0,8 : 0,03; 4) 3|: 3,6. 590. 591. 592. 593. 594. 595. 596. Увеличится или уменьшится отношение и во сколько раз, если: 1) предыдущий член увеличить в 4 раза; 2) последующий член увеличить в 2,4 раза; 3) предыдущий и последующий члены увеличить в 10 раз; 4) последующий член увеличить в 7 раз, а предыдущий уменьшить в 3 раза; 5) предыдущий член уменьшить в 9 раз, а последующий — в 4,5 раза? Увеличится или уменьшится отношение и во сколько раз, если: 1) предыдущий член уменьшить в 5 раз; 2) последующий член уменьшить в б раз; 3) предыдущий член увеличить в 9 раз, а последующий уменьшить в 2 раза; 4) последующий и предыдущий члены увеличить соответственно в 4 и 12 раз? Расстояние между двумя городами на местности равно 435 км, а на карте — 14,5 см. Найдите масштаб карты. Расстояние между двумя городами на местности равно 120 км, а на карте — 7,5 см. Найдите масштаб карты. Размеры участка прямоугольной формы составляют 48 м и 30 м. Начертите в тетради план этого участка в масштабе 1 : 600. На плане, масштаб которого равен 1 : 15 000, длина прямоугольного участка равна 12 см, а ширина — 8 см. Сколько пшеницы надо, чтобы засеять этот участок, если на 1 га земли высевают 0,24 т семян? Расстояние между селениями Приречное и Приозёрное на местности составляет 288 км, а на карте — 9,6 см. Какое расстояние между селениями Кленовое и Калиновое на этой же карте, если расстояние на местности между ними равно 324 км? 115 597. Расстояние между сёлами Рябиновка и Ольшанка на местности равно 98 км, а на карте — 4,9 см. Расстояние между сёлами Крапивня и Камышовое на этой же карте равно 7,6 см. Какое расстояние между сёлами Крапивня и Камышовое на местности? Упражнения для повторения 598. 599. 600. Число 414 кратно числу 18. Найдите: 1) три числа, следующих за 414 и кратных 18; 2) два числа, предыдущих 414 и кратных 18. Петя и Дима, работая вместе, могут прополоть огород за 2,4 ч. Петя может сделать это самостоятельно за 4 ч. Сколько времени требуется Диме, чтобы самостоятельно прополоть огород? Найдите значение выражения: 2,04 : 25 36,1 19 20 0,6: 0,9. 16 Задача от мудрой совы 601. Витя купил тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все страницы по порядку от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 35 листов и сложил все 70 чисел, которые на них были написаны. Могла ли полученная сумма быть равной 3 500? 6 20. Пропорции Поскольку 3,6 : 0,9 = 4 и 1,2 : 0,3 = 4, то верным является равенство 3,6 : 0,9 = 1,2 : 0,3, которое называют пропорцией (от лат. proportio — «соизмеримость»). Q Равенство двух отношений называют пропорцией. В буквенном виде пропорцию можно записать так: а : Ь = с 1 ас а, или -г = -т о а Приведённые записи читают: «отношение а к Ь равно отношению с к d», или «а относится к Ь, как с относится к d». Числа and называют крайними членами пропорции, а числа Ь п с — средними членами пропорции. 116 Средние члены пропорции / \ \ Крайние члены пропорции 1) = С : d f а _ с Ь d члены 1 пропорции Средние члены пропорции В пропорции 3,6 : 0,9 = 1,2 : 0,3 числа 3,6 и 0,3 — крайние члены, числа 0,9 и 1,2 — средние члены. Заметим, например, что отношения 2 : 4 и 3 : 9 не равны, поэтому образовать пропорцию они не могут. 15 3 Для пропорции рассмотрим произведение крайних членов 1,5 ■ 4 и произведение средних членов 2 • 3. Эти произведения равны. Такое свойство присуще любой пропорции. о Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Это означает: если т = ^ у то ad = be b а Это свойство называют основным свойством пропорции. Верно и следующее утверждение. О Если с ^ d числа, отличные от нуля, ч ad= be, то отношения ^ и 4 равны и могут образовать пропорцию 4 = 4- о а о а Приведённое свойство даёт возможность устанавливать равенство двух отношений, не находя их значений. Например, чтобы установить, об- 50 разуют ли отношения 0,25 : — и 1,4 : 40 пропорцию, достаточно прове- 50 рить, равны ли произведения 0,25 • 40 и —1,4. 50 Получаем: 0,25 • 40 = 10; —1,4 = 10. Итак, имеем пропорцию 0,25 : у = 1,4 : 40. 117 TaioKe отметим, что из равенства ad = be следуют, например, и такие пропорции: ^ = — , — = 4 • паса Пример 1. Найдите неизвестный член пропорции 9 : х = 5 : 7. Решение. Используя основное свойство пропорции, запишем: 3 . X = 9 • 7. Отсюда X = = 21. Ответ: 21. ◄ Пример 2. Сколько стоит .S,2 м ткани, если за 4,2 м этой ткани заплатили 63 р.? Решение. Пусть 3,2 м ткани стоят х р. Запишем кратко условие задачи в следующем виде: 3.2 м — X р.; 4.2 м — 63 р. X 63 Отношения — и —- равны, поскольку каждое из них показывает, 3,2 4,2 сколько стоит 1 м данной ткани. Т. X 63 Тогда составим пропорцию: = —- . 3,2 4,2 Отсюда X = 3,2 • 63 3,2 • 3 Ответ: 48 р. ◄ 4,2 0,2 16-3 = 48. Пример 3. Олово производят из минерала, который называют касситеритом. Сколько тонн олова получат из 25 т касситерита, если он содержит 78 % олова? Решение. Пусть получат х т олова. Взяв массу минерала за 100 %, запишем кратко условие задачи: 25 т — 100 %; X т — 78 %. 25 X равны, поскольку каждое из них показывает. Отношения —— и „ 100 78 сколько тонн составляет 1 % шм i ij; 78 • 25 ^ 25 Тогда составим пропорцию: X 78 Отсюда X = 19,5. 100 Ответ: 19,5 т. ◄ Обратим внимание, что составление пропорций — ещё один способ решения задач на проценты. 1. Что называют пропорцией? 2. Как в равенстве т : п = k : р называют числа т \лр1 п\л kl 118 3. в чём состоит основное свойство пропорции? (1 С 4. Как проверить, образуют ли отношения и ^ пропорцию? Решаем устно 5) 4 м : 80 см; 6) 1,5 м : 40 см. 1. Найдите отношение: 1) 14 : 7; 3) 0,6 : 0,5; 2) 7 : 14; 4) 0,5 : 0,6; 2. Равны ли отношения: 1) 9 : 4,5 и 21 : 10,5; 2) 6 : 18 и 8 : 24? 3. Сколько получилось пачек творога, если 8 ^ кг творога расфасовали 1 . ^ в пачки по — кг? ^ 14 4. Назовите три дроби, каждая из которых равна: 1) -; 2) — . 3 7 5. Турист прошёл половину всего пути и ещё 3 км. После этого ему осталось пройти 2 км. Сколько всего километров должен был пройти турист? Упражнения 602. Прочитайте пропорцию, назовите её крайние и средние члены: 1)5:3 = 20:12; 3) ^ = |^; 5) х : 9 = 2 : 23; 2) 13 : 4 = 39 : 12; 44 16 ^ 12 51’ ач 8 64 ^^у=Ть- 603. Запишите в виде пропорции утверждение: 1) 2 относится к 7, как 6 относится к 21; 2) отношение 7,2 к 0,8 равно отношению 0,09 к 0,01; 04 2 ,14 20 3) — относится к 1-, как — относится к —. •3 ^ X о«з 604. Вычислив данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию: 9^ А . А 12 . А ‘ 11 ■ 22 ” 17 ■ 34 ■ 1) 2,8 : 0,7 и 152 : 38; В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию. 605. Вычислив данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию: 15 3 В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию. 2) 5- : 3— и 1— : ^ 4 16 19 38 119 606. Не вычисляя данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию: В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию. 607. Не вычисляя данные отношения, установите, можно ли из них составить пропорцию: 1)3,8: 2,7 и 5,7: 4,6; 2) Q л ‘7 2.5 ■ ■ Ч 3 ■ 12 ‘ В случае утвердительного ответа запишите эту пропорцию 608. Решите уравнение: 3) 4,9 : 0,35 = х : 35; 1) 6 :д:= 36 : 30; 2) 12 : 7 = 3 :х; 5) X 16 3. 8’ 4) i = JL ‘ 21 14 сч 108 42 -^ = т- 609. Найдите неизвестный член пропорции: 1) X : 5 = 21 : 15; 3) 4,5 : 0,6 = х : 2,4; 2) ^ А. 4) M = lil X 18 ’ ^ 5,1 л: ‘ 610. Решите с помощью пропорции задачу. 1) Для изготовления 8 одинаковых приборов необходимо 18 кг металла. Сколько таких приборов можно изготовить из 27 кг металла? 2) За 5 ч турист прошёл 24 км. Какое расстояние он пройдёт за 8 ч с той же скоростью? 3) Из 140 кг свежих вишен получают 21 кг сушёных. Сколько килограммов сушёных вишен получится из 160 кг свежих? Сколько килограммов свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сушёных? 4) Объём бруска, изготовленного из древесины вишни, равен 800 см»^, а его масса — 528 г. Какова масса бруска, изготовленного из этого же материала, если его объём равен 1 500 см^? 5) Из 45 т железной руды выплавляют 25 т железа. Сколько требуется тонн руды, чтобы выплавить Ют железа? 6) Площадь поля 480 га. Пшеницей засеяли 24 % площади поля. Сколько гектаров земли засеяли пшеницей? 7) За первый час автомобиль проехал 70 км, что составило 14 % всего пути. Сколько километров составляет весь путь? 8) Сплав содержит 12 % цинка. Сколько килограммов цинка содержится в 80 кг сплава? о 611. Решите с помощью пропорции задачу. 1) На пошив 14 одинаковых костюмов израсходовали 49 м ткани. Сколько таких костюмов можно сшить из 84 м ткани? 120 2) За 7 ч в бассейн налилось 224 л воды. За какое время в него нальётся 288 л воды? 3) Из 150 кг картофеля получают 27 кг крахмала. Сколько крахмала получат из 420 кг картофеля? Сколько килограммов картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала? 4) В саду растёт 320 деревьев, из которых 40 % составляют яблони. Сколько яблонь растёт в саду? 5) Масса соли составляет 24 % массы раствора. Сколько килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли? 612. 1) Расстояние между двумя городами па карте равно 17 см. Каково расстояние между .этими городами на местности, если масштаб карты — 1 : 300 000? 2) Расстояние между двумя посёлками на местности равно 245 км, а на карте — 3,5 см. Найдите масштаб карты. 613. 1) Расстояние между двумя городами на местности равно 240 км. Какое расстояние между ними на карте, масштаб которой 1 : 6 000 000? 2) Расстояние между городами Л и Л на местности равно 315 км, а на карте — 4,2 см. Какое расстояние между городами С и Z) на этой карте, если расстояние на местности между ними составляет 135 км? 614. Используя данные числа, составьте пропорцию: 1) 12; 7; 42; 2; 2) 0,2; 1,6; 0,72; 0,09. 615. Составьте все возможные пропорции, которые следуют из равенства 4.9 = 18 • 2. 616. Используя пропорцию 2 : 14 = 5 : 35, .запишите ещё три пропорции. 617. Найдите отношение а к Ь, если: 9 1) — = f; 2)f 618. Найдите отношение а к h, если: 2) а _ Ь 39 “ 8 619. Решите уравнение: 3 ; X = 1 5 3 1 0,4’ 1) 1) = 3) 2л:-1 3 2) 2 х-0,4 620. Решите уравнение: 25 ’ 24 ^ \ . х + 2 5 ’ 1) 7^ : 4^ = ‘ 2 2 2) 3) X -I- 3 5) 2,5х:14 = у 6) 12:^х 5 20 30: 3 _ X — 1 . 6) 36: 35 = lx:-L 4 .3,2 5 12 У — ^ , 5) 5 _ 15 6 3 ’ 6 2х- 3’ 121 621. 622. 623. 624. 625. Чтобы сварить четыре порции манной каши, нужно 220 г манной крупы, 960 г молока и 50 г сахара. Сколько необходимо взять продуктов каждого вида, чтобы сварить 18 порций каши? Чтобы получить 120 кг мельхиора, необходимо сплавить 18 кг никеля, 24 кг цинка, а остальное — медь. Сколько килограммов каждого металла необходимо взять, чтобы получить 164 кг мельхиора? Нарушится ли пропорция, если: 1) оба члена одного из отношений умножить на 8; 2) оба члена одного отношения разделить на 2, а оба члена другого отношения умножить на 5; 3) оба средних члена разделить на 3,6? Нарушится ли пропорция, если: 1) оба члена одного из отношений разделить на 4; 2) оба крайних члена умножить на 10; 3) один из её крайних членов и один из средних членов умножить на 6? Докажите, что если т = 4 » то: о а 1) а — 2) 626. Ь d ‘ а + Ь с d ‘ Девять кокосов стоят столько дублонов, сколько кокосов можно купить за 1 дублон. Сколько стоят 15 кокосов? 627. 628. 629. Упражнения для повторения \_________ 1 3 Во сколько раз число: 1) 2) -Jr; 3) 0,6 меньше обратного ему числа? Из сёл Заречное и Заозёрное одновременно навстречу друг другу вышли два мальчика и встретились через 10 мин после начала движения. Затем мальчики продолжили движение в тех же направлениях, и один из них пришёл в Заозёрное через 8 мин после встречи. Через сколько минут после своего выхода из Заозёрного второй мальчик придёт в Заречное? Найдите значение выражения: 1) 3 6-2 Готовимся к изучению новой темы 630. в саду растёт 56 деревьев, из них 14 деревьев составляют яблони. Какую часть деревьев сада составляют яблони? 122 631. в саду растёт 56 деревьев, из них 14 деревьев составляют яблони, а остальные деревья — груши. Каьсую часть от количества груш составляют количество яблонь? Задача от мудрой совы 632. На столе лежат четыре чёрные палочки разной длины, причём сумма их длин равна 40 см, и пять белых палочек, сумма длин которых также равна 40 см. Можно ли разрезать те и другие палочки так, чтобы потом расположить их парами, в каждой из которых длины палочек будут одинаковыми, а цвета разными? 6 21. Процентное отношение двух чисел Всем нам приходилось пить чай из чашек разного размера, при этом сахар каждый добавляет по своему вкусу, добиваясь привычного ощущения сладости независимо от емкости посуды. Например, если вы каждое утро выпиваете 250 г чая, в котором растворено три ложки сахара, т. е. 30 г са- 30 3 . хара, то отношение , равное —, и будет характеризовать ваш «сахар-250 25 ный вкус». Число ^ показывает, какую часть от массы напитка составляет масса сахара. А если вы захотите выпить 400 г чая, то, чтобы он был привыч- 3 ного вкуса, в нём должно быть растворено 400 ‘ ^ (^) сахара. 3 3 Выразим отношение — в процентах: ^ = 0,12 = 12 %. Число 12 показывает, сколько процентов в выпитом чае составляет сахар. Это число называют процентным отношением массы сахара к массе чая. Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого. Например, если в 6 классе учатся 12 девочек и 20 мальчиков, то процентное отношение количества девочек к количеству мальчиков равно 12 — 100 = 60 (%). Оно показывает, что количество девочек составляет 60 % от количества мальчиков. 123 9 A вот число — 100 = 166- Ь) показывает, что количество маль- от количества девочек. 12 чиков составляет 166- 3 20 Число — 100 = 62,5 (%) показывает, какой процент составляет количество мальчиков от количества учащихся всего класса. ^ Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента. При решении задач на процентное отношение, кроме этого правила, можно использовать пропорции. Пример 1. Б парке растёт 400 деревьев, из них 96 — ели. Сколько процентов всех деревьев парка составляют ели? Решение. Пусть ели составляют х %. Запишем кратко условие задачи в таком виде: 400 деревьев — 100 %; 96 деревьев — х %. ^ 400 96 Отношения —- и — равны, поскольку каждое из них показывает, 100 X ^ сколько деревьев приходится па 1 %. ^ 96 400 96-100 о А д: 100 400 Ответ: 24 ). ◄ Пример 2. Стоимость товара возросла со 150 р. до 240 р. На сколько процентов увеличилась стоимость товара? Решение. Пусть новая стоимость товара составляете % относительно начальной стоимости. Тогда кратко условие задачи можно записать так: 150 р. — 100 %; 240 р. — е %. 240 X Тогда: 1.50 . ^ 240 • 100 100 ’ ^ 1.50 160. вара. Получаем 160 — 100 = 60 (%) — составляет увеличение стоимости то-Ответ: на 60 %. ◄ 1. Что такое процентное отношение двух чисел? 2. Что показывает процентное отношение двух чисел? 3. Сформулируйте правило нахождения процентного отношения двух чисел. 124 1. 2. 3. 4. Решаем устно \___ Выразите в процентах: 1) 0,02; 2) 0,2; 3) 2; 4) 0,002. В магазине было 600 кг капусты. Продали 40 % капусты. 1) Сколько килограммов капусты продали? 2) Сколько процентов всей капусты осталось в магазине? В коробке лежат 20 шаров, из них восемь шаров белые, а остальные — синие. Какую часть всех шаров составляют: 1) белые шары; 2) синие шары? Какую часть количество белых шаров составляет от количества синих? Какую часть количество синих шаров составляет от количества белых? У Саши и Димы было по 12 яблок. Сначала Саша отдал Диме 50 % своих яблок, а потом Дима отдал Саше 50 % яблок, которые у него оказались. У кого из мальчиков яблок стало больше и на сколько? Упражнения 633. 634. 635. 636. Сколько процентов числа составляет его: 1) половина; 2) четверть; 3) десятая часть; 4) пятая часть? Сколько процентов составляет: 1) число 4 от числа 8; 4) число 45 от числа 300; 2) число 2 от числа 10; 5) число 64 от числа 400; 3) число 12 от числа 48; 6) число 138 от числа 120? Сколько процентов число 40 составляет от числа: 1) 100; 2) 80; 3) 160; 4) 10? 1) Вика прочитала 169 страниц книги, в которой 260 страниц. Сколько процентов страниц книги прочитала Вика? 2) У Маши было 340 р. За 238 р. она купила подарок маме. Какой процент денег истратила Маша на подарок? 3) Найдите процент содержания олова в руде, если 80 т этой руды содержит 6,4 т олова. 4) За каникулы Витя планировал решить 60 задач по математике, а решил 102 задачи. На сколько процентов Витя выполнил «план по решению задач»? 5) Определите процент содержания сахара в растворе, если 250 г раствора содержит 115 г сахара. 637. 1) Из 36 учеников 6 класса девять учащихся получили за контрольную работу по математике оценку «5». Сколько процентов учащихся получили оценку «5»? 125 оо V 2) Найдите процент содержания соли в растворе, если 400 г раствора содержит 34 г соли. 3) Посеяли 240 семян, из которых взошло 228. Найдите процент всхожести семян. 638. На сколько процентов изменилось значение величины, если она изменилась; 1) от 3 кг до 6 кг; 4) от 80 м до 72 м; 2) от 2 м до 3 м; 5) от 100 р. до 115 р.; 3) от 40 к. до 70 к.; 6) от 60 мин до 42 мин? 639. 1) Цена товара выросла со 140 р. до 175 р. На сколько процентов повысилась цена товара? 2) Цена товара снизилась со 175 р. до 140 р. На сколько процентов сни.зилась цена товара? 640. Известно, что 380 кг руды первого вида содержит 68,4 кг железа, а 420 кг руды второго вида — 96,6 кг железа. В какой руде, в первого или второго вида, выше процентное содержание железа? 641. Известно, что 280 г первого раствора содержит 98 г соли, а 220 г второго раствора — 88 г соли. В каком растворе, первом или втором, выше процентное содержание соли? 642. По данным на первое полугодие 2009 г., общая численность населения Российской Федерации составляла 141,91 млн человек, из них 103,71 млн — жители городов. Сколько процентов всего населения России составляет городское население? Ответ округлите до десятых. 643. Костюм стоил 1 800 р. Сначала его цену повысили на 20 %, а потом новую цену снизили на 10 %. Какой стала цена костюма после этих изменений? На сколько процентов изменилась начальная цена костюма? 644. Шкаф стоил 2 400 р. Сначала его цену снизили на 10 %, а потом новую цену повысили на 25 %. Какой стала цена шкафа после этих изменений? На сколько процентов изменилась начальная цена шкафа? И 645. С 1995 по 2008 г. количество профессиональных театров в России возросло па 116, и в 2008 г. их было уже 586. На сколько процентов увеличилось количество профессиональных театров за указанный период? Ответ округлите до десятых. 646. К сплаву массой 600 г, содержавшему 20 % меди, добавили 40 г меди. Каким стало процентное содержание меди в новом сплаве? 647. Было 300 г 6%-го раствора соли. Через некоторое время 60 г воды испарилось. Каким стало процентное содержание соли в растворе? 648. К 620 г 40%-го раствора соли долили 180 г воды. Найдите процентное содержание соли в новом растворе. 126 649. 650. 651. 652. 653. 654. Количество клёнов составляет 40 % от количества дубов, растущих в парке. Сколько процентов составляет количество дубов от количества клёнов? На сколько процентов увеличится число при увеличении его в 2,4 раза? На сколько процентов уменьшится число при уменьшении его в 2,5 раза? Мальчик купил две книги. Одна книга была па 50 % дороже другой. На сколько процентов вторая книга дешевле первой? Число X составляет 1 % от числа у. Как надо изменить число у, чтобы число X составило от него 2 %? К числам 100 и 1 000 дописали справа цифру 1. Какое из чисел увеличилось на большее количество процентов? 655. К некоторому числу прибавили 10 % этого числа, а затем вычли 10 % суммы и получили 990. Найдите это число. Упражнения для повторения 656. Найдите числа, которых недостаёт в цепочке вычислений: + 1 4 25 11 657. Из городов Солнечный и Счастливый одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и велосипедист, которые встретились через 2 ч после начала движения. Через 4 ч после встречи пешеход прибыл в город Счастливый. Сколько времени затратил велосипедист на путь из Счастливого в Солнечный? Готовимся к изучению новой темы 658. Сторона первого квадрата равна 3 см, а второго — 6 см. Во сколько раз: 1) сторона второго квадрата больше стороны первого; 2) периметр второго квадрата больше периметра первого; 3) площадь второго квадрата больше площади первого? 659. Вычислите значение у по формуле у = 0,2х, если: 1) х = 5; 2) х= 1,2. Найдите, используя данную формулу, значение х, если у = 4. 127 Задача от мудрой совы 660. Из пункта Л в б ч утра вышел турист. Вечером он дошёл до пункта В и, переночевав, снова в 6 ч утра отправился в пункт Л. Докажите, что на маршруте есть такой пункт С, в котором турист оказался в одно и то же время как в первый, так и во второй день (скорость туриста на маршруте могла меняться). Когда сделаны уроки Как найти «золотую середину» Представьте, что из нашей жизни исчезли дробные числа. Как тогда измерять расстояния, находить площадь, объём, массу? Ведь не все величины можно измерить, пользуясь лишь натуральными числами. Сейчас трудно в это поверить, но учёные Древней Греции сознательно отказались от дробей. Сравнивая отрезки ЛВ и CD (рис. 14, а), вы, например, можете сказать, что отрезок АВ в 2,5 раза больше отрезка CD. Запрет на дроби не даёт возможности сравнивать отрезки таким образом: ведь числа 2,5 как будто не существует. В Древней Греции поступали так: подбирали такой отрезок MN, который целое число раз укладывался как в отрезке ЛВ, так и в отрезке CD (рис. 14, б). Из этого делали следующий вывод: длины отрезков АВ и CD относятся как 5 к 2. При этом отношение не считали числом, а рассматривали как самостоятельный объект. Рис. 14 А В О — С М N Недостатки этого подхода очевидны. Вы, конечно, понимаете, что не для любых отрезков АВ и CD легко отыскать такой отрезок A4N, который обладает вышеописанным свойством. В старших классах вы узнаете, что не для любой пары отрезков существует третий отрезок, который укладывается в каждом из данных целое число раз. Два отрезка, для которых такого третьего отрезка не существует, называют несоизмеримыми. В 8 классе вы 128 сможете доказать, что если ABCD — квадрат (рис. 15), то отрезки АВ и АС несоизмеримы. Отрезки на рисунке 14 являются соизмеримыми, так как отрезок, длина которого равна стороне клетки, укладывается в отрезках АВ и CD целое число раз. Пропорция АВ : CD = 5:2 означает, что отрезки АВ и CD соизмеримы. Напомним, что слово «пропорция» происходит от латинского proportio, что означает «соизмеримость». С числами можно выполнять арифметические действия. Если же отношения не считать числами, то всё равно необходимо научиться ими как-то оперировать. Так в Древней Греции возникло учение об отношениях, а следовательно, и о пропорциях. Эту теорию развили довольно глубоко. Например, из пропорции а с древнегреческие математики умели получать такие пропорции: а + Ь _ с + d . а — Ь _ с — d . а _ с . а + Ь _ с + d Ь d ‘ Ь d ‘ а -h с — d ‘ а — Ь с — d ‘ Людей всегда интересовало, что является основой красоты, порядка, гармонии, почему некоторые предметы, созданные как природой, так и человеком, привлекают внимание, радуют глаз и даже вызывают восхищение. Приблизительно сто лет назад был проведён следующий эксперимент. Нарисовали десять разных прямоугольников. Каждому опрошенному предложили выбрать среди них один самый приятный для глаз. В этом «конкурсе красоты» с большим отрывом «победил» прямоугольник, отношение сторон которого приближённо равно 0,618 (рис. 16). И это не случайно! Ведь ещё в древности с этим отношением люди связывали своё представление о красоте и гармонии. Греческие скульпторы хорошо знали о соответствии правильных пропорций человеческого тела этому магическому числу. И не зря античные зодчие использовали его в своих бессмертных творениях. Так, отношение высоты Парфенона, храма в Афинах, построенного в V в. до н. э. (рис. 17), к его длине приближённо равно 0,618. Рис. 15 D Рис. 16 129 Гений эпохи Возрождения Леонардо да Винчи полагал, что среди многих отношений, которые использует Творец, существует одно, единственное и неповторимое. Именно его он назвал «золотым сечением». На отрезке ЛВ (рис. 18) точка М отмечена так, что выполняется пропорция ЛМ МВ ^ ^ —77 = -гту, т. е. длина большей части от-ЛВ AM резка относится к длине всего отрезка так, как длина меньшей части к длине большей части. Оказывается, что каждое из отношений, входящих в эту пропорцию, приближённо равно 0,618. Точка М не делит отрезок АВ пополам, но именно её называют «золотой серединой». ^ 22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости Периметр Р квадрата со стороной, равной а, вычисляют по формуле Р = 4а. Например, если а = 2 см, то Р = 4 • 2 = 8 (см). Если изменяется длина стороны квадрата, то изменяется и его периметр. В таких случаях говорят, что периметр и сторона квадрата являются переменными величинами, причём величина Р (периметра) зависит от величины а (длины стороны). Эта зависимость наглядно представлена на рисунке 19. Заметим, что если увеличить сторону квадрата, например, в 2 раза, то и его периметр увеличится в 2 раза; если уменьшить сторону квадрата в 3 раза, то периметр уменьшится в 3 раза и т. п. Понятно, что увеличение (уменьшение) периметра в несколько раз приводит к соответствующему увеличению (уменьшению) стороны квадрата. 130 Две переменные величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Так, величины Р и а прямо пропорциональны. Можно также сказать, что величина Р прямо пропорциональна величине а или зависимость между величинами Р и а является прямой пропорциональностью. Приведём пример ещё одной прямой пропорциональной зависимости. Пусть турист движется со скоростью 5 км/ч. Тогда путь s, пройденный за время t, вычисляют по формуле s = bt. Величины s п t прямо пропорциональны. Этот факт подтверждает таблица соответствующих значений времени и пути, пройденного туристом. t — время движения туриста, ч 1,5 2,2 3,4 путь, пройденный за время t, км 7,5 10 11 15 17 Рассмотрим отношения 5 : 1; 7,5 : 1,5; 10 : 2; 11 : 2,2; 15 : 3; 17 : 3,4. Все они равны 5, т. е. 5 _ 7,5 _ 10 _ 11 _ 15 _ 17 1 1,5 2 2,2 3 3,4 Эти равенства иллюстрируют свойство переменных величин, которые находятся в прямой пропорциональной зависимости. 5. Если две переменные величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу. В рассмотренных примерах для величин Р и а это число равно 4, а для величин s и t равно 5. Следовательно, соответствующие значения ве- Р S личин Р и а удовлетворяют равенству — = 4, для величин 5 и / — — 5. Нс всякая зависимость между переменными величинами является прямой пропорциональностью. Рассмотрим пример. Пусть путь из одного села в другое велосипедист проехал за 2 ч, двигаясь со скоростью 7 км/ч, а на обратную дорогу затратил 1 ч, двигаясь со скоростью 14 км/ч. Мы видим, что увеличение скорости в 2 раза привело к уменьшению затраченного времени также в 2 раза. Очевидно, что если бы велосипедист увеличил скорость в 1,5 раза, в 2,5 ра- 131 за, в 3 раза, в 4 раза, то время движения уменьшилось бы соответственно в 1,5 раза, в 2,5 раза, в 3 раза, в 4 раза. И наоборот, если бы велосипедист уменьшил скорость движения в несколько раз, то во столько же раз увеличилось бы время движения. В таких случаях говорят, что скорость и время движения являются обратно пропорциональными величинами или зависимость между скоростью и временем движения является обратной пропорциональностью. Q Две переменные величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из этих величин в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Приведём ещё пример обратной пропорциональной зависимости. Пусть стороны прямоугольника равны а см и см, а его площадь — 24 см^. Величины а w h обратно пропорциональны. Действительно, если одну из сторон прямоугольника увеличить (уменьшить) в несколько раз, то, чтобы площадь его не изменилась, другую сторону надо уменьшить (увеличить) во столько же раз. Сказанное подтверждает следующая таблица. а, см “ if 1 2 3 4 5 6 8 Ь, см 24 12 8 6 2,4 4 3 Площадь, см^ 24 24 24 24 24 24 24 Рассмотренный пример иллюстрирует свойство переменных величин, которые находятся в обратно пропорциональной зависимости. Q Если две переменные величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу. Так, в рассмотренном примере для величин а и h имеем: аЬ = 24. Отметим, что не всякая зависимость между переменными величинами является прямой или обратной пропорциональностью. Например, площадь квадрата со стороной 2 см равна 4 см‘^, а со стороной 6 см — 36 см‘^. Следовательно, при увеличении стороны в 3 раза площадь квадрата увеличилась в 9 раз. Таким образом, зависимость между площадью квадрата и его 132 стороной не является ни прямой пропорциональностью, ни обратной пропорциональностью. Пример 1. Заполните таблицу, если величина у прямо пропорциональна величине х. 0,4 0,6 Ш» ^ ‘ш 1,6 2 Решение. Найдём отношение известной пары соответствующих зпа-V 16 чений величин х и у\ ^ = 4. Чтобы заполнить второй столбец табли- цы, умножим 0,6 на 4, а чтобы заполнить третий, разделим 2 на 4. Таблица примет вид: X У 0,4 1,6 0,6 0,5 2,4 2 Пример 2. Для перевозки груза необходимо 20 самосвалов грузоподъёмностью 8 т. Сколько нужно самосвалов грузоподъёмностью 5 т, чтобы перевезти этот груз? Решение. Во сколько раз увеличивается грузоподъёмность одного самосвала, во столько же раз уменьшается их количество при условии, что масса перевозимого груза не изменяется. Поэтому грузоподъёмность одного самосвала и количество самосвалов являются обратно пропорциональными величинами. Грузоподъёмность одного самосвала увеличилась 5 в 5:3 = -^ раза. Тогда количество самосвалов должно уменьшиться во о 1сдую минуту число стирают и записывают на этом месте новое число, равное произведению цифр старого числа, увеличенному на 12. Какое число будет написано на доске через час? ^ 24. Окружность и круг Колесо — одно из самых значительных изобретений человека. Невозможно представить мир без колеса. Секрет его чудесных возможностей кроется в свойствах удивительной линии — окружности (рис. 20). Недаром древние греки считали окружность самой совершенной и «самой круглой» фигурой. И в наши дни в некоторых ситуациях, когда хотят дать особую оценку, употребляют слово «круглый», которое считают синонимом слова «абсолютный»: круглый отличник, круглый сирота и т. д. Окружность легко начертить с помощью циркуля (рис. 21). Установим иглу циркуля на бумагу. Тогда другая ножка циркуля при вращении Рис. 20 Рис. 21 140 опишет окружность. Точку, в которую упирается остриё циркуля, называют центром окружности. На рисунке 20 точка О — центр окружности. Все точки окружности удалены от её центра на одинаковое расстояние. Именно поэтому любое транспортное средство на колёсах едет «ровненько»: центр колеса при вращении находится на одинаковом расстоянии от земли (рис. 22). Отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой, называют радиусом. На рисунке 23 отрезки ОЛ, ОБ, ОМ — радиусы окружности. Все радиусы одной окружности равны между собой. Например, на рисунке 23 ОА — ОВ — ОМ. Длина радиуса ОА равна 1,5 см. Принято также говорить, что радиус окружности равен 1,5 см. Радр1ус окружности обозначают буквой г. Для окружности, изображённой на рисунке 23, можно записать: 1,5 см. Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называют хордой. На рисунке 24 отрезки АВ и MN — хорды. Заметим, что здесь хорда АВ проходит через центр окружности. Такую хорду называют диаметром окружности. Диаметр состоит из двух радиусов. Поэтому диаметр в 2 раза больше радиуса. Диаметр окружности обозначают буквой d. Можно записать: d=2r Точки А и В, лежащие на окружности (рис. 25), делят её на две части, выделенные на этом рисунке разным цветом. Каждую из них называют дугой окружности. Окружность ограничивает часть плоскости (рис. 26). Эту часть плоскости вместе с окружностью называют кругом. Круг имеет центр, радиус, диаметр, хорду — это соответственно центр, радиус, диаметр, хорда окружности, ограничивающей круг. На рисунке 27 точка О — центр круга. Точки О, А, В и С принадлежат кругу, а точка М не принадлежит. При этом лишь точка М удалена от центра круга на расстояние, большее радиуса. Если точка удалена от центра круга на расстояние, меньшее радиуса круга или равное ему, то эта точка принадлежит кругу. Если из центра О круга (рис. 28) провести два радиуса ОА и ОВ, то они разделят круг на две части, выделенные на этом рисунке разным цветом. Каждую из них называют сектором. На рисунке 29 диаметр АВ делит круг на две равные части, каждую из которых называют полукругом. Пример. С помощью линейки и циркуля постройте треугольник АВС со сторонами АС = 2 см, ВС = = 3 см и АВ = 4 см. Решение. Сначала с помощью линейки строим отрезок АВ длиной 4 см. Гретья вершина С треугольника должна быть удалена от точки А на 2 см, а от точки — на 3 см. Поскольку все точки, удалённые от точки А на 2 см, лежат на окружностР! радиуса 2 см с центром А, а все точки, удалённые от точки ^ па 3 см, — на окружности радргуса 3 см с центром В, то точка С будет точкой пересечения этих окружностей (рис. 30). 142 Соединив точку С с точками А п В, получим искомый треугольник АВС <рис. 31). Обратим внимание на то, что построенные окружности имеют ещё одну общую точку (рис. 32), которую также можно взять в качестве вершины треугольника. Б этом случае мы получим ещё один треугольник АВС^ со сторонами указанной длины, равный треугольнику АВС. -7. Это неравенство молено проиллюстрировать с помощью такого примера: если ночью температура была -7 °С, а днём стала 2 °С, то мы говорим, что температура повысилась, т. е. увеличилась. Рис. 95 В М А 4 i N 1 i 1 1 1 А 1 X ^ т т 1 -7 -6 1 1 1 f 1 -2 -1 0 1 ? ^ 1 2 9 Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Точка М (-6) лежит левее точки N (-1) (см. рис. 95), поэтому -6 |-1|. Этот пример иллюстрирует следующее. 9 Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. На координатной прямой число О расположено левее любого положительного числа и правее любого отрицательного числа. В Любое отрицательное число меньше нуля, любое положительное число больше нуля. Если а — положительное число, то это можно записать в виде неравенства: а >0. Если а — отрицательное число, то пишут а О (читают: «а больше или равно нулю»). Если а — неположительное число, то пишут я 0; если а -10; 3) х >-2,6. Найдите наибольшее целое число, при котором верно неравенство: 1)-5 -9,332; 2) -0,9*72 -6,415; 2) -32,1* \Ь\\ 3) числа ап Ь — отрицательные, \а\ 3, то а — положительное число; 2) если Ь -1, то с — положительное число; 4) если d \Ь \, то а > Ь\ 2) если \а\ > Ь, то а > Ь\ 944. Сравните: \) aw -а\ 2) \а\ W а\ 3) | )а+\Ь\\ 4)\а-^Ь\\ 967. Найдите значение выражения \х + у \ -ь х, если: 1) X = 2,8, у = -3,9; 3) х = -^3, у = -6,2; 2) х = -4,5, ^ = 7,2; 5) \а\ -ь \Ь\ 968. 969. Ь\ если: Найдите значершя выражений \а\ + \Ь\ и \а I) а = -3,Ь = -7; 2) а = -4,Ь = 10; 3) а = 7,2, h = 2,8. Какими должны быть числа а и Ь, чтобы выполнялось равенство \а + Ь\ = \а\ + 1^1? Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из слагаемых? В случае утвердительного ответа приведите пример. Какими числами должны быть в этом случае слагаемые? Какими числами должны быть слагаемые, чтобы их сумма была больше каждого из них? Упражнения для повторения 970. При каких значениях х верно неравенство: 1) \х\ >х; 2) |х| фажеиие и найдите его значение: 1) 7,44 + й + (-3,5) + (-5,44) + (-12,5) + Ь, если а = 9,6, Ь = -5,7; -5-й) 28 J + k, если р = -2^ , k = 9. 30 Упростите выражение и найдите его значение: 1) -2,8 + X + 5,36 + (-7,2) + ^ + (-7,36), если х = -13, у = 54; 2) m + , если т В течение шести дней уровень воды в водохранилище изменялся соответственно на: -3,2 дм; 1,6 дм; 4,3 дм; -2,2 дм; -1,9 дм и -0,8 дм. На сколько дециметров изменился уровень воды за шесть дней? Найдите сумму всех целых чисел: 1) расположенных на координатной прямой между числами -8 и 11; 2) удовлетворяющих неравенству -9,8 -2; 2)-2 + а -2? Найдите периметр четырёхугольника, если его стороны пропорциональны числам 3, 4, 5 и 8, а наибольшая сторона на 10,5 см больше наименьшей. Сергей Иванович положил в банк 4 000 р. под 5 % годовых. Какая сумма будет у него на счёте через: 1)1 год; 2) 2 года; 3) 3 года? Флаги некоторых стран состоят из трёх горизонтальных полос разного цвета. Сколько разных флагов с белой, синей и красной полосами можно составить? 210 Готовимся к изучению новой темы 991. Используя действие сложения, проверьте, верно ли выполнено вычитание: 1)13,62-4,12 = 9,5; 2)|1-| = ^. Задача от мудрой совы 992. У электромонтёра есть два куска провода, общая длина которых 25 м. От них он планирует отрезать необходимые для работы хсуски в 1 м, 2 м, 3 м, 6 м, 12 м. Сможет ли электромонтёр отрезать необходимые для работы куски провода? S 36. Вычитание рациональных чисел Как и в случае с натуральными числами, разность рациональных чисел определяют с помощью сложения. Q Разностью рациональных чисел а и 6 называют такое рациональное число X, которое в сумме с числом Ь даёт число а. Равенство а — h = x справедливо, если справедливо равенство х -¥ h = а. Например: 7 — (-2) = 9, так как 9 -н (-2) = 7; 5 — 8 = -3, так как -3 -I- 8 = 5; -9-11= -20, так как -20 -1-11= -9; -3,7 — (-2,2) = -1,5, так как -1,5 + (-2,2) = -3,7. Анализируя записанные разности, можно заметить следующее: 7 — (-2) = 9и7 + 2 = 9; 5 — 8 = -3 и 5 -н (-8) = -3; -9 — 11 = -20 и -9 + (-11) = -20; -3,7 — (-2,2) = -1,5 и -3,7 -н 2,2 = -1,5. Как видим, вычитание рациональных чисел можно заменить сложением, т. е. для любых рациональных чисел а п Ь справедливо равенство а — Ь — а Л- <-Ь) 211 ^ Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. С помощью этого правила любое выражение, содержащее действия сложения и вычитания, можно заменить на выражение, которое содержит только действие сложения. Например: 2,3 - 5 - 1,9 + 17 = 2,3 + (-5) + (-1,9) + 17. Заметим, что раньте мы не могли из меньшего числа вычесть большее. Выполнение этого действия стало возможным благодаря введению в рассмотрение отрицательных чисел. Например: 1 - 2 = -1; 2 - 100 = -98; -7 - (-2) = -5. 0 Если разность а - Ь отрицательна, то а Ь. 1. Какое число называют разностью рациональных чисел а\л Ы 2. Как найти разность двух чисел? 3. Какое из чисел а и Ь больше, если разность а - Ь отрицательна? Положительна? Решаем устно Какое число противоположно числу: 1 1) 1,6; 2) -4,3; 3) 7’ 4) 3,5; 2. 3. 4. 5. Сумма двух чисел равна 30, а одно из слагаемых равно 16. Чему равно второе слагаемое? Вычитаемое равно 7, а разность равна 0,7. Чему равно уменьшаемое? Уменьшаемое равно 5, а разность равна 2 — . Чему равно вычитаемое? Выполните сложение: 1) -8 -ь 4,2 -ь (-9) -н 5,8; 3) -19 -ь 18,74 -н (-18,74); 2) -1,7-н (-3,3)-н 5; Упражнения 5JL + 4i. + f_5JL) 18 16 [ 18 993. Выполните вычитание: 1)10-16; 2)5-12; 3) -5 - 3; 212 994. 995. 4) -6- 18; 8) -11 - (-6); 5) 9-(-2); 9)12,3-(-6,8); 6) 4 - (-10); 10) 2,4 - 5,6; 7) -3-(-8); 11)0-13,4; Выполните вычитание: 1) 3,5-(-9,7); 3)0-7,25; 2) 1,9-3,2; 4)-5,3-3,7; Выполните вычитание: 12) -1,4- 1,2; 13) -10,2 - (-4,9); 14) о - (-99,4); 15) -8 - (-8). 5) -2,8 - (-5,2); 6) о - (-0,08). 1) 2) 3) 5 9 ' 16 И) 4) 5) 14 25 10 996. 1) 2) 3) 997. 998. _ 11_. 24 ’ 1-1. 9 15 Выполните вычитание 1-i-lS 8 [ 10^ ii_iZ. 12 18 ’ _3 __9_ . 7 14 ’ Решите уравнение: 1) х+7 = 4; 2) 20-дг=35; 3) х+2,6 = -1,7; Решите уравнение: 1) х+ 19= 10; 2) 12,4-д:= 16; 6) ie: 4) 5) 6) 5*2 35 10; 12 9 17 6; 7) 8) 9) 7) 8) 9) О 2—-4 20 -3|-4 9 -4 А 16 17 30 J_ 12 14 15 -1 19 45 4) -4,5 - X = 9; 5) X-0,9 = -1,4; 6) 7 - X = -5; 7) -20-л; = -13; 8) -0,76 - х = -0,83. 3) х + 3,4 = -5,8; 4) -1,2-л: =0,6; 5) Jt:-3,8 = -1,9; 6) 11 -х = -14. 999. Мёртвое море расположено на высоте -425 м относительно уровня Мирового океана. Каспийское море, которое является самым большим в мире озером, находится на высоте -28 м относительно уровня Мирового океана. На сколько метров уровень воды в Каспийском море выше уровня воды в Мёртвом море? 1000. Абсолютный максимум температуры воздуха 45,4 °С в России был зафиксирован 12 июля 2010 г. на метеостанции Утта (Калмыкия). Абсолютный минимум температуры -69,8 °С был зафиксирован на протяжении трёх дней 5—7 февраля 1892 г. в Верхоянске (Якутия). Найдите разность абсолютных максимума и минимума температур. 1001. Самая низкая температура воздуха, зафиксированная в пустыне Сахара, равна -5 °С, а самая высокая — 55,4 °С. Определите максимальный перепад температур воздуха в Сахаре. 213 оо V 1002. Ртуть плавится при температуре -38,9 °С, а медь — при температуре 1 083,4 °С. На сколько градусов температура плавления меди выше температуры плавления ртути? 1003. Самая низкая зафиксированная на поверхности Земли температура была равной -89,2 °С, что на 70,8 °С выше самой низкой температуры, измеренной на поверхности Луны. Чему равна самая низкая температура, зафиксированная на Луне? 1004. Найдите значение выражения: 1) -27 4-13 - 34-1-21; 2) 1,7 - 3,4-2,5-f 4,1; 3) -0,65 - (-0,44) -н (-1,23) -ь 8,1; 4)3| + 5) 4 + 3 4 ■й)-(-н) 1005. Найдите значение выражения: 1) 16 - 29-ь 14-48; 2) -3,2 - 7,8 - 5,4 -h 4,6; 3) -4,28 - 1,53 - (-7,85) -н (-9,06); 3 8 13 18 4) 5) + -2-|; 6 1 -2-' + 4А _l5_( -6 — ]+- 15 6 1 10 ) 2 а Ь С — d, если: 1006. Найдите значение выражения 1) а = -\,Ь- 12, с = -6, = 8; 2) а = 1,5, Ь = -3,2, с = -1,8, = -2,4; 3) а = зУ 6 = 2^, c = -l|,^f = 5; Л Z о л\ С)1ь q^9j i3 1007. Составьте числовое выражение и вычислите его значение: 1) из числа 3,6 вычесть сумму чисел -12,6 и 5,3; 2) к разности чисел -2,4 и -3,8 прибавить сумму чисел 5,6 и -10. 1008. Составьте числовое выражение и вычислите его значение: 1) к числу -1,4 прибавить разность чисел 2,5 и 4,1; 2) из суммы чисел -8,2 и 14 вычесть разность чисел 0,7 и -5,4. 1009. Найдите координату точки на координатной прямой, удалённой; 1) от точки А (4,6) на 10 единиц; 214 2) от точки В 1^-1 ^ j 3) от точки С |^-Зу j на 2- единицы; 6 на Зу единицы. Сколько решений имеет задача? 1010. 1) -16 i + a + 33 + Z?- - а\ 3) -х + у 2 5 7 6 + х; 2) 7,2 - W - п - 8,9 - 1,1 + от; 4) p-k + 3 9 8 16 + ^ 32 -р+ k. ЮИ.Реши! ге уравнение: 1) |х1 + 2,8 = 5; 3) \х\ -0,4 = - ■0,29; 5) 15- 1х| = ■■-2: 2) |л:| -3,1 =4,4; 4) \х\ -6 = -9; 6) |х + 2,51 = = 1. 1012. Решите уравнение: 1) |х| + 3 = 8; 3) |х| -0,8 = - ■0,1; 5) 13- [х\ = = 6; 2) |х| - 1,3 = 1,2; 4) |х| + 2,1 = 1 >6) |х + 2,11 : = 3. 1013. Не выполняя вычислений, сравните: 1) сумму чисел -9,34 и -12,78 и их разность; 2) разность чисел 48 и 73 и сумму чисел -46 и 59; 3) разность чисел -16,5 и -2,37 и разность чисел -4,3 и -8,1. 1014. Не выполняя вычислений, сравните: 1) сумму чисел 81,9 и -74,6 и сумму чисел 80,4 и -83,5; 2) разность чисел 52 и 74 и сумму чисел -102 и 102; 3) разность чисел -96,3 и -96,3 и сумму чисел 0,872 и -0,872. 1015. Решите уравнение: 1) ||д:|-8| = 2; 2) ||х| + 2| = 7. 1016. Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) |х1 -8,5; 2)-5,2- |х|? В случае утвердительного ответа укажите это значение и значение х, при котором выражение его принимает. 1017. Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения выражения: 1) |х| +3,9; 2) 7,6- |х|? В случае утвердительного ответа укажите это значение и значение х, при котором выражение его принимает. % Упражнения для повторения 1018. Первое число составляет 80 % второго. Сколько процентов первого числа составляет второе число? 215 1019. в тире Вася сделал 48 выстрелов, из которых шесть не попали в цель. Найдите процент попаданий в цель. 1020. У Миши было 36 кроликов разной масти: белые, серые и бурые. Бурые составляли всех кроликов, серых было 8. Какова вероятность того, что наугад выбранный кролик будет белым? 1021. Дмитрий Григорьевич взял с собой в командировку три рубашки, одну пару туфель, одни брюки, один обычный галстук и один галстук-бабочку. Дмитрий Григорьевич всегда носит туфли, брюки, рубашку и галстук. Сколько разных комплектов одежды он может составить? Готовимся к изучению новой темы 1022. Запишите в виде произведения сумму: 1) — + — + i i i + i + i; 2) 2,3 + 2,3 + 2,3 + 2,3. ^2222222 ’ ’ ’ Задача от мудрой совы 1023. Докажите, что в любой компании из шести человек найдётся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых. ^ 37. Умножение рациональных чисел Вы знаете, что 7-3 = 7-1-7-1-7 = 21. Представляя аналогично произведение (—7) • 3 в виде суммы равных слагаемых, найдём значение этого выражения: (-7). 3 = (-7)+ (-?) +(-7) =-21. Для положительных чисел выполняется переместительное свойство умножения аЬ = Ьа. Это свойство верно и для любых рациональных чисел. Поэтому (-7) -3 = 3- (-7) = -21. Поскольку -21 и 21 — противоположные числа, то каждое из произведений (-7) • 3 и 3 • (-7) является числом, противоположным произведению 3 • 7, т. е. (-7) . 3 = -(7.3): 3 • (-7) = -(3 . 7). Рассуждая аналогичным образом, можно, например, записать: (-9) . 4 = -(9 • 4) = -.36 и 4 • (-9) = -(4 • 9) = -36; И)— 21в Эти примеры иллюстрируют следующее правило. ^ Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-». Отметим, что в произведениях (—7) • 3, (-9) • 4 ■Н> Н]—i 5 первый мно- 5. При этом житель можно писать без скобок. Например, запись ^ ^ ие имеет смысла. Снова рассмотрим произведения 7 • 3; -7 • 3 и 7 • (-3). Видим, что изменение знака одного из множителей в произведении 7 • 3 приводит к изменению знака самого произведения. А если поменять знак у обоих множителей? Тогда знак произведения изменяется дважды, т. е. остаётся неизменным. Поэтому -7 . (-3) = 21. Такой же результат получим, если умножим модули множителей: 1-71 . 1-31 =21. Этот пример иллюстрирует следующее правило. Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули. Например, -1,4 • (-5) = 11,4| • |-5| = 1,4 -5 = 7; -М= 3 5 _ 3 5 _ 1 ■’5 1 V 5 9 5 9 3 Рассмотрим несколько произведений, в которых один из множителей равен -1: 17 • (-1) = -17, (-17) • (-1) = 17, -1 • 5 = -5, -1 • (-5) = 5. Видим, что при умножении числа на -1 получаем число, противоположное данному. В буквенном виде этот факт записывают так: а • (-1) = (-1) • а = -а Также отметим, что а I = \ ■ а = а, а • О = О • а = О Сделаем несколько выводов, которые следуют из правил нахождения произведения рациональных чисел. 217 (9 Если числа а^Ь имеют одинаковые знаки, то произведение аЬ положительно. И наоборот, если произведение аЬ положительно, то числа h имеют одинаковые знаки. Если числа а ^ Ь имеют разные знаки, то произведение аЬ отрицательно. И наоборот, если произведение аЬ отрицательно, то числа а и 6 имеют разные знаки. 9 Если хотя бы одно из чисел а или Ь равно нулю, то произведение ah равно нулю. И наоборот, если произведение аЬ равно нулю, то хотя бы одно из чисел а или Ь равно нулю. Пример 1. Решите уравнение <х + 3)(x - 2,4) = 0. Решение. Поскольку произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю, т. е.: X + 3 = о или X - 2,4 = 0; X = -3 или X = 2,4. Ответ: -3; 2,4. ◄ Пример 2. Докажите, что выражение х^ может принимать только неотрицательные значения. Решение. Если х = 0, то х^ = 0. Поскольку x^ = X • X, то при X 7^: о имеем произведение двух равных чисел, т. е. чисел с одинаковыми знаками. Такое произведение принимает только положительные значения. ◄ 9 При любых значениях х выражение принимает только неотрицательные значения: х2>0 1. Как умножить два числа с разными знаками? 2. Как умножить два отрицательных числа? 3. Какие знаки должны иметь два числа, чтобы их произведение было положительным числом? Отрицательным числом? 4. В каком случае произведение равно нулю? Решаем устно Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 0,4 дм, 2,9 дм и 2,5 дм? 218 2. 3. Масса семи одинаковых гаек и четырёх одинаковых болтов равна 1 150 г, а масса таких же трёх гаек и четырёх болтов — 950 г. Найдите массу одного болта. За 200 г конфет заплатили 68 р. Сколько стоит 1 кг таких конфет? Упражнения 1024. Выполните умножение: 1) -125; 2) -0,4 . 1,5; 3) 3,4. (-1,8); 3 5) (-i) 6) ->3.16; ^ 24 39 7) А.Г-М ‘ .S.5 15 4) . И) 1025. Выполните умножение: 8) -^-24; 1) 16 • (-3); 4)f. — 2) -8 • (-7); 5)-i— ’ 7 ‘ 3) -2,3- (-1,4); 6) -6-f 1026. Найдите значение степени: 1) (-2)*; 1028. 2) (-0,6)2; 1027. Найдите значение степени; 1) (-7)2; 2) (-7)=*; 3) Выполните действия: 1) -3,2 • 0,4-ь 2,6 . (-0,5); 2) 5,2 • (-0,8) — (-1,5) • (-3,4); 3) (7,6-20) • (-3,14 + 5,24); 9) 45.[-i], 11) -3|-f-5j 9 4 12) -l|-6i 7 8 7) -у5′(-57); 8) 3)| 5) (-1)’»; 4)| f-41’ 6) (-1)23. 4) HJ- 4)|-1|^ -2^ + -2^ 27 190 )’ 5) 6) 8 + 2^ ^+iiU-^-16 8 J 6 44 14 219 1029. Выполните действия: 1) -2,7- (-1,2)+ 3,5- (-2,8): 2) -7,4.0,6 — 3,8 • (-2,3); 3) (-9,3- 1,7) ■ (2,6 + (-5,9)); оо V 1030. Не выполняя вычислений, сравните: 1) (-7,2)2 и 0; 3) (-10)’и (-0,1)“: 5) (-8)>2 и -8>2; 2) о и (-5,3)»; 4) -5» и (-5)®; 6) 0,3’» и (-216)». 1031. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений: 1) -2,4 • (-3,6) • 7,8 и 9,6 • (-4,1) ■ 1,8; 3) -7,13 ■ (-2) • (-14) . (-19) • 17 и -13 • (-21) • (-2 136); 4) 139 • (-216) . о . 518 и 135 • 418 • (-5 132). 1032. Выполните действия: 2) (6.75*(-4.5).l|].(-llJ, 1033. Выполните действия: 2) П*(-2|].(-0,2)] (-1,2), 1034. Составьте числовое выражение и найдите его значение: 1) разность куба числа -5 и квадрата числа -8; 1 5 2) разность квадратов чисел -1- и -; 3 6 3) разность произведений чисел -1,2 и -0,4 и чисел 1,6 и 0,6; 4) произведение суммы чисел 2,8 и -3,4 и суммы чисел -1,6 и 4,2. 1035. Составьте числовое выражение и найдите его значение: 1) куб разности чисел 7 и 10; 2) произведение суммы чисел 6 и -10 и их разности; о\ ..8 3) сумма произведении чисел 9 27 23 49. 32 ^ 28 ^ 46 ’ 4) произведение разности чисел 4,5 и 6 и разности чисел 1,8 и -3,4. 220 1036. Найдите значение выражения: 1) 18х^, если X = — i; 3) (х + yY, если х 9 ’ 2) (24х)^, если х = — \ -0,9, у = 0,8; 4) 4х — Ъу, если х 1037. Найдите значение выражения: 1) 23 — если с = -3; 2) х^ — если X = -0,2; 3) (0,8а + 0,ЗЬ)(0,6Л — 1,2а), если « = 2^, * = -1^ 1038. Решите уравнение: 1) 3х = 0; 2) -6,8(х-4) = 0; 1039. Решите уравнение: 1) — X = о* 12 ’ 2) 5,4(х+6,3) = 0; 3) (х+7,2)(х-8,1) = 0; 4) -5|х| =0. 3) (х-3)(х-н4) = 0; 4) 23,5 |х| =0. 1040. 1041. 1042. 1043. 1044. 1045. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство: 1)-6х>-36; 2)-7х>-70; 3)-5х>-18; 4)-0,8х >-6,4. Найдите все целые отрицательные значения х, при которых верно неравенство: 1)-5х о? Чему равно значение выражения: 1 — 3 -ь 5 — 7 4- 9 — 11 -н . -ь 97 — 99? 1055. Упражнения Выполните умножение: 3) 0,2 • (-0,25) • (-0,5) . 5 ■ (-4) • (-2). 225 1056. Назовите коэффициент выражения: 1) 6а; 3) -ху\ 5) -аЪс\ 7) xyz\ 2) -7,26; 4) 1,8ти; 6) -2|р; 1057. Упростите выражение и укажите его коэффициент: 1) 4а • (-1,2): 4) -3,2р • (-0,56); 2) -0,26 • (-0,14); -S* я 3) -6а ■ 86; 6) -liMfpi-i 1058. Упростите выражение и укажите его коэффициент: 1) -Ът • (-2,1); 4) -1а • ЪЬ • (-6с); 2) 3,6 . (-5л;); 5, 3) Ют ■ (-1,7) • и; 6) -0,2^ • (-5а) • (-6). 1059. Вычислите наиболее удобным способом: 1) -4-23 .(-0,5): 4) A.j’_2ij.(-69)-|; 2) -0,4 • (-250) • 5 • (-0,2); 3 5) -0,7-2,5-1у-(-4) 3) ^ (-6,5) о, 4 1060. Вычислите наиболее удобным способом: 1) -1,25 • (-3,47) ■ (-8); tV I’^ C-se). оо V 2) -0,001 • (-54,8) . 50 • (-2); 4) 4,8 ■ (^-2^ j-j-j. 1061. Чему равно произведение всех целых чисел, которые больше -20 и меньше 20? 1062. Положительным, отрицательным или нулём является произведение пяти чисел, если: 1) два числа положительные, а остальные — отрицательные; 2) два числа отрицательные, а остальные — положительные; 3) четыре числа отрицательные; 4) два числа отрицательные, два числа — положительные, а одно — нуль? 1063. Упростите выражение и найдите его значение: -|ч8 оЗг 1г1 если а = —, 6 = -; 226 ‘■»I 3 5 если л: = -3 — , ^ = 14, z = 16 1064. Упростите выражение и найдите его значение: 1) 200т • (-0,4гг), если т = -0,25, п = 0,2; 2) 20 9 1065. Сумма двадцати чисел, каждое из которых равно 1 или -1, равна 0. Найдите произведение этих двадцати чисел. Упражнения для повторения 1066. Верно ли утверждение: 1) если а > о и ^ > О, то 62^ > 0; 3) если «/; > 0, то я > 0 и 5 > 0; 2) если 0 и 5 5’ 1070.3а месяц завод изготовил продукции на 644 тыс. р., что на 15 % больше, чем было запланировано. На какую сумму планировали изготовить продукции на заводе? Готовимся к изучению новой темы 1071. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: 1) 3.18-7,8+ 3,18-2,2; 2^-| + 2^-|. 1072. Раскройте скобки: 1)8( + 36,4; 4) -2,2 + 4,9 — с и 4,9 — с — 1,3. 230 1084. Приведите подобные слагаемые: 1) 1х- lSx + 25х — бх; 2) -0,ЗЬ- l,U + 3,lb + 0,7b; 1085. Приведите подобные слагаемые: 1) -4а + \2а + \3а — 21а\ 2) 4,2х — 4,8х — 6,3х — 2,4т; 1086. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: 1) 3(5бг + 4) — 11а; 5) (Зх — 11) • 0,2 — 5(0,4 2) -0,2(4/5-7) + 1,46; 3) Па — 166- 18а+ 96; 4) -0,86 + 0,9р — 1,76 + 0,56 + 1,4р. 3) -17х+ 19р- 15р+ 13х; 4) 0,9а — 0,8т — 0,7т + 3,5а — 1,9а. 0,3х); 6) |(18m-24n)-(5m + 2n): 3) За(7 — h) — 7(/> — За); 7) -3,5(3а — ЧЬ) + 2(1,3« — Ь)\ 4) -4(2yfe — 9) — 3(6/^ + 1); 8) -(8а — 13) + 3(4 — За). 1087. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: 1) -4д: — 8(9 — 2х); 4) -7(3 — 4с) + 14(0,5 + 2с); 2) |(12-2,1^) + 0,Зг/; 5) Ъ <ЧЛх-у) 2,8(2х- 3^); l,6(2^-3). оо V 3) 6(Зх-2)+4(5х-1); 6)0,4(8Г+7) 1088. Вынесите за скобки общий множитель: 1) 5а + 56; 3) -6а + 66-6; 5) 0,3а6 + 1,.3ас 2) ах - 6х; 4) 12а - 66 + 18с; 6) 9т - 6а + 126 1089. Вынесите за скобки общий множитель: 1) 3c-3d\ 3) 1а-1Ь-1с\ 2) тх - ту\ 4) -12х - 8р + 20. а; - 15. 1090. Запишите выражение, значение которого противоположно значению данного выражения при любом значении а: 1) а - 8; 2) а + 8; 3) -а + 8; 4) -а - 8. 1091. Раскройте скобки: -1б + ^С- i]; 4 24 12 ) f-- 9 9 1 32 1) -12 2) |^16« 3) -±Ьс< 15 4 8 4) (-3,6а6 + 20а - 6 - 100) • <-Ъху). -45а Ш + Ъ-т-^ 1092. Раскройте скобки: •14^ - -^^ + 2) 1,2д^ 5т '4‘)' 3) 0,3/яи(1,5 - 66с + 76 - Юс). 231 1093. Вычислите наиболее удобным способом: 1) 6,723,72-21: (-‘tI 2) -7,2-2^-7,2-3 15 3) .3JL. о 3 514 и,5 + 0,3-1^. 6 1094. Вычислите наиболее удобным способом: 1) -32,3-711+ 2^-(-32,3); 2) 1,6 ■ (-5,3) - 2,4 • (-5,3) - 4| • 5,3: 3) -5,6-4| +6^-5,6+ 2:^-(-5,6). 1095. Приведите подобные слагаемые: 1) i V + ijc - ^6 4^ 9 2^ 2) fa 18 14 36 7 9 1096. Упростите выражение и найдите его значение: 1) 0,8^ + 0,5^ - 0,9^ - 0,7^, если у = -1,8; 2) 20а - 156 - lOfif + 66, если а = -0,3, 6 = 0,7; 3) а • (-2,4) 4- 3,2с/ - (-4,8), если а = -0,2; 4) 6,2 ' Ь - Ь ■ (-7,3) - (-4,5) • (-6), если 6 = -1,4. 1097. Упростите выражение и найдите его значение: 1) -0,6л: - l,2x + 3,2л: - 5,6х, если х = 3,5; 1 4 2) -2,7х + 3,6^ + 4,5л: - 5,8^, если л: = -1-, ^ = “тт- У 11 1098. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: 2(_Ъ з1 8 2) -^1 2, /X - v-y |- 1-| 2,4Х - 1-у „|f.|„6)-|(28-i,); 1099. Найдите значение выражения: 1) -6(2/2 - 7) + 4(5/2 - 6) при а - -2,5; 2) -1,1(2/77 - 4) - (2 - Ът) - 0,4(1 - тп) при т = -4; 3) l^(3^-9)-8l(^-6) при ^ = 3,6. 1100. Найдите значение выражения: 1) 7(3 - Щ - 5(ЗЛ + 4) при Ь = -0,2; 2) -2(3,1х- 1) + 3(1,2х+ 1) -8(0,3х + 3) при х = 0,8; 232 3) -2-^(13 Р) + 1^(26-/^) при 4- 1101. Вынесите за скобки общий множитель: 1) блг - \2a-\- ^ау\ 3) -%тп - ^mk - Юттг; 2) lab + 14бгс - 28бг; 4) ^ahc - 2^abd - 6ab. 1102. Вынесите за скобки общий множитель: 1) -1,2рс - 0,2тс + с; 3) -^ах - Ъ^ау - 42«z; 2) -ЪЪас - \ЪЬс + 2^аЬс\ 4) 9тпр + АЪтпк - 21 тп. 1103. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной: 1) Ца - 3) - 3(6 -а) + (20 - 1а)\ 2) (Зш - 7) . 0,6 - 0,8(4w - 5) - (-1,7 - \Лт). 1104. Докажите, что при любом значении переменной: 1) выражение 3(5,1^ - 2,5) - 0,9(17^ 4- 5) принимает отрицательное значение; 2) выражение -0,2(36х-1- 15) + 0,б(12х-1- 7) принимает положительное значение. 1105. Докажите, что при любом целом значении п значение выражения: 1) 5(4/2 - 4,2) - 7(2/2 - 3) кратно 6; 2) 9(3/2 - 8) 4- 2(36 - 11/2) кратно 5. 1106. Найдите значение выражения: 1) -4(/2 - к), если к - п = -7; 2) 4т - (т + 3/2), если т - п = -0,8; 3) -За - О, ^ > 0; 3) X о, V о? 1320. Выше или ниже оси х расположена точка В (х; у), если: 1) ^ > о, X — произвольное число; 2) ^ о, ^ — произвольное число? 1322. Из точек Л (2; 4), В (1; -10), С (0; -20), D (-4; -50), Е (47; 0), F (0; 7), Q (-1; -1), 5 (-9; 7), Р (-6; 0) выберите точки, лежащие: 1) выше оси х; 2) левее оси у\ 3) на оси х; 4) на оси у, Q 1323. Начертите на координатной плоскости замкнутую ломаную, последовательными вершинами которой являются точки с координатами: (8; 0), (6; 2), (0; 6), (1; 4), (-1; 4), (-3; 3), (-6; 0), (-8; 0), (-6; -1), (-6; -2,5), (-5; -1), (-1; 1), (0; 1), (3; 0), (2; -1), (5; -1), (6; -2), (7; -2), (9; -3), (8; -1). Отметьте точку (7; -1). 1324. Начертите на координатной плоскости две замкнутые ломаные, последовательными вершинами которых являются точки с координатами: (-5; 3), (-2; 1), (1; 2), (2; 3), (6; 4), (-2; 6) и (-3; 3), (-3; 4), (-2; 5) и (-2; 3), четыре отрезка с концами в точках (-6; 7) и (-2; 6), (2; 7) и (-2; 6), (5; 3) и (7; 5), (5; 5) и (7; 3). 1325. Изобразите на координатной плоскости все точки (х; у) такие, что: 1) X = -3, у — произвольное число; 2) у — -5, X — произвольное число. 1326. Изобразите на координатной плоскости все точки (х; у) такие, что: 1) X = 4, г/ — произвольное число; 2) ^ = 2, X — произвольное число. Q 1327 .Изобразите на координатной плоскости все точки, у которых: 1) абсцисса и ордината равны; 2) абсцисса и ордината — противоположные числа. 1^ 1328. Изобразите на координатной плоскости все точки (х; у) такие, что: 1) ^ = о, X 1; 2) -4 0; 4) |х| > 2, у -3; 2) -2 Ь. Сложение рациональных чисел • Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) найти модули слагаемых; 2) из большего модуля вычесть меньший модуль; 3) перед полученным числом поставить знак слагаемого с большим модулем. • Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) найти модули слагаемых; 288 2) сложить модули слагаемых; 3) перед полученным числом поставить знак «-». Свойства сложения рациональных чисел • Сумма двух противоположных чисел равна нулю. • Для любых рациональных чисел а, Ь ^ с справедливы равенства: а + Ь = Ь + а — переместительное свойство сложения; <а + Ь) + с = а + (Ь + с) — сочетательное свойство сложения. Разность рациональных чисел Разностью рациональных чисел а и Ь называют такое рациональное число X, которое в сумме с числом Ь даёт число а. Вычитание рациональных чисел Чтобы найти разность двух чисел, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Умножение рациональных чисел • Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «-». • Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули. • При любых значениях х выражение принимает только неотрицательные значения. Свойства умножения рациональных чисел • Если числа а и 6 имеют одинаковые знаки, то произведение аЬ положительно. И наоборот, если произведение аЬ положительно, то числа а\лЬ имеют одинаковые знаки. • Если числа а^Ь имеют разные знаки, то произведение аЬ отрицательно. И наоборот, если произведение аЬ отрицательно, то числа а и 6 имеют разные знаки. • Если хотя бы одно из чисел а или Ь равно нулю, то произведение аЬ равно нулю. И наоборот, если произведение аЬ равно нулю, то хотя бы одно из чисел а или Ь равно нулю. • Для любых рациональных чисел а, Ь и с справедливы равенства: аЬ = Ьа — переместительное свойство умножения; 289 Adblock
detector